Lösungsverhältnisse bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Wird an ein Netzwerk, das aus (idealen) induktiven, kapazitiven und ohmschen Widerständen aufgebaut ist, eine harmonische Spannung angelegt, so fließt ein harmonischer Strom, der mit Hilfe des komplexen Ohmschen Gesetzes berechnet werden kann. Bei diesem Rechenverfahren ist man aber an einen streng sinusförmigen Verlauf von Strom und Spannung gebunden, denn der komplexe Widerstand verliert seinen Sinn, wenn Strom und Spannung keine harmonischen Größen sind. Wir stoßen aber, unter Berufung auf das Ohm-sche Gesetz, auf keine Schwierigkeiten bei der Bestimmung des Stromverlaufs, wenn eine beliebige periodische oder aperiodische Erregerspannung anliegt. Wir gehen davon aus, den (gesuchten) Strom i(t) und die (gegebene) Spannung u(t) als Fouriersches Integral darzustellen,

$$ i(t) = \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {I(\omega )} e^{j\omega t} d\omega ,\quad u(t) = \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {U(\omega )} e^{j\omega t} d\omega $$

und deuten diese Gleichungen dahingehend, daß Strom und Spannung durch Überlagerung (Superposition) harmonischer Schwingungen entstehen. Wenn wir jetzt eine Frequenzbereich [ω₀, ω₀ + Δω] herausgreifen, so liefert dieser eine Beitrag zur Spannung u(t), den wir näherungsweise als harmonisch ansehen können,

$$ \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{{{\omega _{0}}}}^{{{\omega _{0}} + \Delta \omega }} {U(\omega )} {e^{{j\omega t}}}d\omega \approx \frac{1}{{2\pi }}U({\omega _{0}}){e^{{j{\omega _{0}}t}}}\Delta \omega $$

insbesondere haben wir den Ausdruck

$$ d\underline I ({\omega _{0}}) = \underline Y ({\omega _{0}})d\underline U ({\omega _{0}}) = \frac{1}{{2\pi }}\underline Y ({\omega _{0}})U({\omega _{0}})\Delta \omega $$

als seinen Zeiger aufzufassen.