Aufgaben über Kontingenztabellen und Vorzeichentest

Zusammenfassung

Bei der Kontingenztabelle nimmt die Nullhypothese zwei Zufallsvariablen X und X* als unabhängig an. Bei bekannten Verteilungen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten W(X ∈ I_i) = p_i*, W(X* ∈ I_k*) = P*_k berechnen. Die I₁,...; …,I_r und I₁ *,..., I_s* sind hierbei Zerlegungen von ℜ die zu positiven Wahrscheinlichkeiten führen. Unter der Nullhypothese gilt für die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten: W{ (X,X*) ∈ I_i x I_k} = p_i*p*_k. Es sei ((X₁,X₁*),...,(X_n,X_n*)) eine Stichprobe vom Umfang n und N_ik die Anzahl ihrer Werte, die in das zweidimensionale Intervall Iⁱ x I_k.* fallen. Dann gilt unter der Nullhypothese ε(N_ik) = np_i*p*k und die Folge von Testfunktionen

$${\rm{W}}_{\rm{n}} = \sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{r}} {\sum\limits_{{\rm{k = 1}}}^{\rm{s}} {\frac{{\left( {{\rm{N}}_{{\rm{ik}}} - {\rm{np}}_{{\rm{i*}}} {\rm{p}}_{{\rm{*k}}} } \right)^2 }}{{{\rm{np}}_{{\rm{i*}}} {\rm{p}}_{{\rm{*k}}} }}} }$$

ist asymptotisch X²(rs-1)-verteilt. Ist die gemeinsame Verteilung unbekannt, so müssen die Wahrscheinlichkeiten p_i*, p*_k durch die relativen Häufigkeiten

$$\frac{{{\rm{n}}_{{\rm{i*}}} }}{{\rm{n}}} = {\rm{\hat p}}_{{\rm{i*}}} ,\frac{{{\rm{n}}_{{\rm{*k}}} }}{{\rm{n}}} = {\rm{\hat p}}_{*{\rm{k}}}$$

geschätzt werden. n_i* ist die Anzahl der X-Werte im Intervall I_i,n*_k ist die Anzahl der X*-Werte im Intervall I_k* In diesem Fall ist unter der Nullhypothese die Folge der Testfunktionen

$${\rm{V}}_{\rm{n}} = \sum\limits_{{\rm{i = 1}}}^{\rm{r}} {\sum\limits_{{\rm{k = 1}}}^{\rm{s}} {\frac{{\left( {{\rm{N}}_{{\rm{ik}}} - {\rm{n\hat p}}_{{\rm{i*}}} {\rm{\hat p}}_{*{\rm{k}}} } \right)^2 }}{{{\rm{n\hat p}}_{{\rm{i*}}} {\rm{\hat p}}_{*{\rm{k}}} }}} } $$

asymptotisch X²(r−l) (s−1)-verteilt.