Selbstähnlichkeit und Fraktale

Zusammenfassung

Liegen die dynamischen Bewegungsgleichungen in linearer Form vor, so gilt für die Naturbeschreibung das Überlagerungsprinzip, d.h. eine Superposition von Lösungen einer linearen Bewegungsgleichung ist ebenfalls Lösung dieser Gleichung. Dieses Additionsprinzip

$${x_1}(t)\, + \,{x_2}(t)\, = \,xs(t)$$

(10.1)

ist grundlegend für alle Prozesse, deren Grundgleichungen linear sind. Die Gleichung (10.1) ist die mathematische Äquivalenz für die Aussage, daß das (lineare) Ganze genau die Summe seiner Teile ist. Das bekannteste Beispiel für diesen Sachverhalt sind die harmonisch gekoppelten Schwinger, die mit Hilfe der Normalmodenanalyse entkoppelt werden können, so daß sich die Gesamtlösung als Summe der Lösungen der unabhängigen Teilsysteme ergibt. Zu nennen sind neben den harmonischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen auch die Holographie mit der Überlagerung von Bildsignal und Referenzstrahl, die Maxwell-Gleichungen, insbesondere elektrostatische Erscheinungen als Superposition von Coulomb-Feldern und die Quantenmechanik mit der linearen Schrödinger-Gleichung (Superposition der Wahrscheinlichkeitsamplituden).