Lineare Abbildungen

Zusammenfassung

Bei jeder mathematischen Struktur ist es äußerst wichtig, die strukturerhaltenden Abbildungen, die sogenannten Homomorphismen, zu studieren. Dies hat folgende Gründe:

• Wir müssen feststellen können, ob zwei Strukturen, in unserem Fall also zwei Vektorräume „im wesentlichen gleich“(das heißt „isomorph“) sind. Damit kann man auch feststellen, durch welche Daten ein Vektorraum bestimmt ist. Zum Beispiel kann man sich fragen, ob ein Vektorraum schon durch den zugrundeliegenden Körper und der Dimension „im wesentlichen“ eindeutig bestimmt ist. Wir werden diese Frage mit „ja“ beantworten.

• Innerhalb eines gegebenen Vektorraums wollen wir feststellen können, ob zwei Objekte desselben Typs durch einen Automorphismus ineinander überführbar sind. Es wird sich zeigen, daß je zwei Basen durch einen Vektorraumautomorphismus aufeinander abgebildet werden können. Dies impliziert dann, daß wir — wenn notwendig — ohne den Vektorraum zu ändern, eine bestimmte Basis o.B.d.A. auswählen können!

• Durch einen Homomorphismus wird ein gegebener Vektorraum V wieder auf einen Vektorraum abgebildet. Kann man eine Übersicht über alle so erhaltenen Vektorräume bekommen? Der Homomorphiesatz wird darauf eine Antwort geben.