Verallgemeinerte Funktionen

Zusammenfassung

In vielen Zweigen der Physik sucht man in Idealisierungen Zuflucht, um zu einer dem Zweck entsprechenden mathematischen Beschreibung zu gelangen. Während man aber in den Naturwissenschaften gewöhnlich von der Vorstellung kontinuierlich veränderlicher Größen ausgeht, wofür der Begriff der stetigen Funktion ein ausreichendes Modell bildet, treten als Folge von Idealisierungen unstetige Funktionen auf, wie zum Beispiel die den Sprungablauf idealisierende Sprungfunktion σ(t), oder es wird eine mathematische Beschreibung mit Hilfe des gewöhnlichen Funktionsbegriffes überhaupt unmöglich. Wir konnten dies bei der Idealisierung des Stoßvorganges sehen, die uns zur Einführung der Deltafunktion δ (t) veranlaßt hat. Wenn wir uns dabei auch in der Schreibweise an den gewöhnlichen Funktionsbegriff anlehnen, so bleibt dennoch die Deltafunktion im Grunde bloß ein Symbol, und ebenso symbolhaften Charakter haben die Rechenregeln, die wir im Zusammenhang damit angeführt haben. Eine wichtige physikalische Idealisierung ist auch die Vorstellung von einer in einem Punkt konzentrierten Substanz wie die punktförmige Masse oder die punktförmige Ladung. Für dieses Modell sind wir mit dem gewöhnlichen Funktionsbegriff nicht in der Lage, eine Dichtefunktion anzugeben. Es wird sich herausstellen, daß auch in diesem Fall die Deltafunktion, nunmehr als Funktion des Ortes, zur mathematischen Beschreibung heranzuziehen ist.