Lösungsmethoden der linearen Optimierung

Zusammenfassung

In den folgenden Ausführungen steht die Frage zur Diskussion, wie ein lineares Optimierungsproblem zweckmäßig gelöst werden kann. Es ist eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen zu lösen: Eine lineare Funktion von mehreren Veränderlichen ist unter Berücksichtigung linearer Gleichungen und Ungleichungen als Nebenbedingungen zu maximieren oder zu minimieren. Dabei entsteht die Frage: Können die üblichen Lösungsmethoden der Analysis herangezogen werden, d. h. können mit Hilfe der Differentialrechnung unter Benutzung einer Lagrange-Funktion notwendige und hinreichende Bedingungen für das Auffinden optimaler Lösungen angegeben werden? Diese Frage muß sofort verneint werden, weil bestimmte notwendige Voraussetzungen zur Anwendung dieser Methoden nicht erfüllt sind. Mit diesen Methoden können relative (lokale) Maximal- oder Minimallösungen ermittelt werden, die im inneren des zulässigen Lösungsbereiches liegen und wenn Optimierungsprobleme vorliegen, deren Nebenbedingungen nur die Gleichungsform haben. In der linearen Optimierung geht es aber um die Bestimmung von absoluten (globalen) Optimallösungen; diese Forderung entsteht bereits bei der Betrachtung entsprechender Problemstellungen aus der Praxis. Es ist also die Lösung gesucht, die bezüglich des zulässigen Lösungsbereiches den maximalen bzw. minimalen Wert der Zielfunktion besitzt. Darüber hinaus kann gezeigt werden, daß bei einem linearen Optimierungsproblem die optimale Lösung ein Randpunkt des zulässigen Lösungsbereiches ist (vgl. Simplextheorem), d. h. die üblichen Methoden der Analysis sind zur Bestimmung der Optimallösung nicht anwendbar. Schließlich liegen in der LO Nebenbedingungen in Ungleichungsform vor (z. B. die Nichtnegativitätsbedingung der Variablen), die ohnehin eine Verallgemeinerung der diesbezüglichen Lösungsmöglichkeit fordern. Es ist also in der linearen Optimierung eine neue Lösungsmethodik erforderlich.