Zusammenfassung
Das Ende als Anfang. Sowohl historisch als auch in Bezug auf den thematischen Rahmen der hier gegebenen Einführung bildet das gefundene Endresultat zugleich einen Anfang: Obwohl das durch die Formeln von Cardano und Ferrari aufgeworfene Problem der Gleichungsauflösung mit Radikalen abschließend beantwortet werden konnte, so werfen doch die dabei bewährten Objekte wie Gruppen und Körper viele neue Fragen nach ihren allgemeinen Eigenschaften auf, und diese sind keineswegs nur „l’art pour l’art“. Darüber hinaus ergibt sich ausgehend von der Erkenntnis, es mit sehr universell anwendbaren Objekten, Eigenschaften und Techniken zu tun zu haben, sogar die Möglichkeit, die Algebra, also die sich mit den Grundoperationen beschäftigende Teildisziplin der Mathematik, aber auch andere Teile der Mathematik in einer sehr prinzipiellen Weise völlig neu zu gliedern. Dabei werden die Gegenstände mathematischen Handelns in möglichst großer Allgemeinheit „klassifiziert“, das heißt in geeignete Strukturbegriffe „einsortiert“. Um diese Einordnung möglichst effizient zu gestalten, werden die betreffenden Begriffsbildungen immer wenn nötig sowohl verfeinert — Gruppen und Körper beispielsweise zu kommutativen Gruppen beziehungsweise endlichen Körpern — als auch verallgemeinert, beispielsweise zu einem Begriff eines Rings, dem alle Anforderungen des Körpers zugrunde liegen mit Ausnahme der Invertierbarkeit der Multiplikation91.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Diese rein algebraische Konstruktion kann sogar dazu verwendet werden, den Fundamentalsatz der Algebra mittels vollständiger Induktion zu beweisen (die Induktion führt über die höchste Zweierpotenz, die den Gleichungsgrad teilt). Analytische Argumente fließen nur in Form der auf Basis des Zwischenwertsatzes beweisbaren Tatsache ein, dass jedes Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten eine reelle Nullstelle besitzt. Siehe Jean-Pierre Tignol, Galois’ theory of algebraic equations,Singapur 2001, S. 119, 121 f.
Tatsächlich ist zum Beispiel die allgemeine quadratische Gleichung über dem zweielementigen Körper 71/27L nicht durch Radikale auflösbar. Siehe: B. L. van der Waerden, Algebra I,Berlin 1971, § 62.
Siehe etwa Jay R. Goldman, The queen of mathematics, Wellesley 1998, Chapter 10.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2004 Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Bewersdorff, J. (2004). Epilog. In: Algebra für Einsteiger. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-91562-7_11
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-91562-7_11
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-528-13192-0
Online ISBN: 978-3-322-91562-7
eBook Packages: Springer Book Archive