Termbedingung und Kommutator

Zusammenfassung

Unter den Gruppen sind die abelschen Gruppen besonders einfach und übersichtlich aufgebaut. Darum schenkt man auch bei Strukturuntersuchungen nichtabelscher Gruppen den „abelschen Bestandteilen“ dieser Gruppen besondere Aufmerksamkeit. Als Werkzeug dient hierbei vor allem der Kommutator, mit dessen Hilfe der nichtabelsche Teil einer Gruppe herausgefiltert werden kann: In diesem Kapitel wird gezeigt, wie man die Begriffe abelsch und Kommutator auf beliebige Algebren verallgemeinern kann. Zur Definition abelscher Algebren verwendet man die Termbedingung, die im Mittelpunkt von Abschnitt 1 steht. Über den Kommutator allgemeiner Algebren findet man in Abschnitt 2 nicht viel mehr als die Definition, womit dem interessierten Leser ein erster Eindruck vermittelt werden soll. In Abschnitt 3 wird schließlich als Beispiel für die Anwendung der Termbedingung H. P. Gumms bekannte Charakterisierung der abelschen Algebren in kongruenzvertauschbaren Varietäten bewiesen.