Einführung: Beispiele und Grundbegriffe

Zusammenfassung

Ein diskretes dynamisches System ist ein Paar (M, T), wobei M eine nichtleere Menge ist und T: M → M eine Selbstabbildung von M. Die Menge M,die gewöhnlich noch zusätzliche Strukturen trägt, wird auch als Zustandsraum bezeichnet und die Abb. T, die die Bewegung von einem Zustand zu dem nachfolgenden Zustand beschreibt, als Bewegungsgesetz des zugrundeliegenden dynamischen Vorgangs. Ist x₀ ∈ M der Anfangszustand, so ist x₁ = Tx₀ der Zustand zum Zeitpunkt 1, x₂ = Tx ₁ der Zustand zum Zeitpunkt 2 usw. Ist x _n der Zustand des Systems zum Zeitpunkt n ∈ ℕ = {0, 1, 2,...}, so wird die Dynamik des Systems beschrieben durch x_n+1 = Tx _n . Es ist x _n = Tⁿx ₀,wobei Tⁿ = To...oT (n-mal) die n-te Iterierte der Abbildung T ist. Der Ausdruck ’diskret’ bezieht sich darauf, daß die Zeit nur in Form von diskreten Zeitpunkten (mitunter: Perioden) 0,1, 2,... eine Rolle spielt. (Zusätzliche Komplikationen für die Theorie ergeben sich, falls man, wie etwa bei zellulären Automaten, auch einen diskreten Zustandsraum M erlaubt.) Von zentraler Bedeutung für die Untersuchung von diskreten dynamischen Systemen sind Gleichgewichte (Ruhepunkte) des Systems bzw. Fixpunkte der Abb. T,d. h. Zustände x* ∈ M, für die Tx* = x* gilt. Interessant ist nun die Frage, ob ein solcher Fixpunkt überhaupt existiert. Wenn ja, ist er eindeutig bestimmt? Wenn nein, was läßt sich über die Menge der Fixpunkte sagen?