Inhalt und Mass

Zusammenfassung

Noch viel näher an der Anschauung als das Integrieren von Funktionen ist das Bestimmen etwa von Länge, Volumen oder Fläche gewisser Mengen. So war der Ausgangspunkt beim RIEMANNschen Integral, daß die Länge des Intervalls [a,b] gerade b-a ist. Man ordnet also einer Menge eine Zahl zu, ihr “Maß”, und diese Zuordnung hat gewisse Eigenschaften. Mit Hilfe der zu diesen Mengen gehörigen Treppenfunktionen entsteht jedoch ein σ-stetiges, lineares positives Funktional (§4), mehr: es wird sich herausstellen, daß alle σ-stetigen, linearen, positiven Funktionale auf STONEschen Vektorverbänden so beschrieben werden können, vorausgesetzt, man dehnt sie zunächst auf hinreichend viele Funktionen aus ; dies ist der Inhalt des Hauptsatzes über die Äquivalenz von Maßtheorie und DANIELL-STONEscher Integrationstheorie (§10). Zunächst müssen aber geeignete Begriffe fixiert werden.