Interrelations between Computers and Applied Mathematics

Summary

In this article an attempt is made to analyze some of the effects that the modern, large-scale, electronic digital computers have had upon the general area of applied mathematics. Broadly, these effects are divided into two categories: those which relate to the impact of the new machines on numerical analysis and those which refer to the opportunity given to the mathematicians for gaining heuristic insights into the areas that have as yet proved inaccessible by more conventional means.

In discussing the first category, four types of errors that can arise in calculational work are analyzed in some detail. There is a quite lengthy digression which serves to illustrate some of those sources of error; it is concerned with an application of the adjoint system to the error problem.

In the latter portion of the article, there are discussed those areas of mathematics which are still unpenetrable by current analytical means and which might be amenable to computational attack.

Zusammenfassung

In diesem Beitrag werden einige jener Einflüsse zu analysieren versucht, welche die modernen, elektronischen, digitalen Großrechenanlagen auf das Gebiet der Angewandten Mathematik haben. Allgemein betrachtet, wirken sie sich nach zwei Richtungen hin aus: einmal ist es die Beeinflussung der numerischen Analysis durch die neuen Maschinen, zum anderen betrifft es die dem Mathematiker in die Hand gegebene Chance, dadurch einen heuristischen Einblick in Gebiete zu bekommen, die sich bislang konventionellen Verfahren gegenüber als unzugänglich erwiesen haben.

Bei der Erörterung des Einflusses der Maschinen auf die numerische Analysis werden vier Arten von Fehlermöglichkeiten, die bei Rechenprozessen auftreten können, unterschieden und ausführlicher untersucht. Zum besseren Verständnis einiger dieser Fehlerursachen wird dabei etwas weiter ausgeholt; dies betrifft die Anwendung adjungierter Systeme auf das Fehlerproblem.

Zum Abschluß werden jene Gebiete der Mathematik behandelt, die mit bestehenden analytischen Methoden noch nicht zu durchdringen sind, die vielleicht aber dem rechnerischen Zugriff erschlossen werden könnten.

Résumé

Cet article tente d’analyser l’influence des grandes calculatrices numériques électroniques modernes dans le vaste domaine des mathématiques appliquées. D’une manière générale ces machines agissent de deux façons: d’une part elles influent sur l’analyse numérique, d’autre part elles offrent au mathématicien des possibilités de pénétrer dans des domaines qui s’étaient jusqu’alors avérés inaccessibles aux méthodes classiques.

Dans l’étude de l’influence des machines sur l’analyse numérique, l’auteur distingue quatre sortes de possibilités d’erreurs susceptibles de se produire dans le processus de calcul et il les examine en détail. Pour mieux comprendre quelques-unes de ces causes d’erreur, il pousse son analyse un peu plus loin et étudie l’adjonction de systèmes particuliers au problème des erreurs.

Pour terminer, il traite les domaines des mathématiques inaccessibles jusqu’ici aux méthodes analytiques existantes mais susceptibles de s’ouvrir éventuellement au calcul électronique.