Nichtlineare Ausgleichsrechnung

Auszug

Wie im Abschnitt 4.1 betrachten wir wieder die Aufgabe, aus gegebenen Daten (Messungen) b_i, i = 1, . . . , m, m > n, auf eine von gewissen unbekannten Parametern x₁, . . . , x_n abhängende Funktion

$$ b(t) = y(t;x_1 , \ldots ,x_n ) $$

zu schließen, die als mathematisches Modell für den Zusammenhang dient, der über die Messungen beobachtet wird. Die Parameter x_i, i = 1, . . . , n, sind jetzt so zu bestimmen, daß in entsprechenden „Arbeitspunkten“ t_i, i = 1, . . . , m, eine „optimale“ Entsprechung b_i ≈ b(t_i), i = 1, . . . , m, erzielt wird. Der Begriff „optimal“ ist hier wieder im Sinne der Gauß’schen Fehlerquadratmethode zu verstehen. D.h. man versucht, diejenigen Parameter x ^*₁ , . . . , x ^*_n zu bestimmen, die

$$ \sum\limits_{i = 1}^m {(y(t_i ;x_1^* , \ldots ,x_n^* ) - b_i )^2 = \mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}^n } } \sum\limits_{i = 1}^m {(y(t_i ;x_1 , \ldots ,x_n ) - b_i )^2 } $$

erfüllen. Falls die Parameter linear in y eingehen, so führt dies auf die lineare Ausgleichsrechnung (Kapitel 4). Hängt y von einigen (oder sogar allen) Parametern nichtlinear ab, so ergibt sich ein nichtlineares Ausgleichsproblem. Um diese Problemstellung geht es in diesem Kapitel.