Zusammenfassung
Das Prinzip der virtuellen Verrückungen ist hervorragend zur Entwicklung von Näherungsverfahren zur Eigenschwingungsberechnung geeignet. Wirklicher und virtueller Verschiebungszustand müssen hierzu durch geeignete Funktionen angenähert werden. Beim Brückenträger mit veränderlichemQuerschnitt von Abb. 13.1 besteht z. B. die Möglichkeit, w(x) durch die Eigenschwingungsformen eines Balkens mit konstanten Querschnittswerten zu approximieren.
Die einfachste Möglichkeit, die unterste Eigenfrequenz !1 eines Tragwerks grob abzuschätzen oder die Ergebnisse aufwändigerer Rechnungen zu kontrollieren, bietet der Rayleigh-Quotient [1]. Er ergibt sich, wenn man im PdvV nur eine Ansatzfunktion berücksichtigt (Abschn. 13.1). Bei Berücksichtigung mehrerer Ansatzfunktionen kommt man zum Ritz’schen Verfahren [2, 3] (Abschn. 13.2).
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Literatur
J. W. S. Rayleigh. Theory of Sound. Dover Publication, New York, 2. Auflage, 1945.
W. Ritz. Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. J. reine angewandte Mathematik, 35(H1):1–61, 1908.
R. Courant. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. American Math. Soc., 49:1–23, 1943.
R. Zurmühl. Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin, Heidelberg, 5. Auflage, 1984.
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Gasch, R., Knothe, K., Liebich, R. (2012). Der Rayleigh-Quotient und das Ritzsche Verfahren. In: Strukturdynamik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-540-88977-9_13
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