Approximation des Equations d'evolution par des Methodes Variationnelles

Abstract

Le présent cours est une introduction à l'approximation par les différences finies des solutions des équations aux dérivées partielles d'évolution. On y traite des équations linéaires du ler ordre et du 2éme ordre en t à l'aide des méthodes variationnnelles : cette étude reprend avec quelques améliorations techniques un certain nombre de résultats de [l0]. Dans chaque cas, aprés un bref rappel théorique, on examine deux schémas classiques, l'un implicite et l'autre explicite, et on donne des théorèmes de stabilité et de convergence. En appliquant ces résultats a un certain nombre d'exemples, on obtient en particulier des résultats de stabilité pour des équations paraboliques et hyperboliques à coefficients mesurables et bornés dans des domaines cylindriques.

Les méthodes utilisés peuvent se généraliser à l'étude de l'approximation d'équations d'évolution couplées [7], d'équations à coefficients non bornés [8], ou d'équations prises dans des domaines non cylindriques [9]. Elles permettent également d'étudier dans des cas généraux les méthodes de directions alternées et à pas fractionnaires 16, 3. Enfin, elles peuvent s'appliquer avec succès à certaines équations non linSaires [l0], [12].