Einleitung

Zusammenfassung

Fixpunkteigenschaften von Abbildungen sind in mathematischen Untersuchungen oft von fundamentaler Bedeutung. Beispielsweise lässt sich die Frage, ob ein nichtlineares Gleichungssystem eine Lösung besitzt, mit Hilfe von Existenzsätzen aus der Fixpunkttheorie beantworten. Innerhalb der mathematischen Oekonomie kommt den Fixpunktsätzen eine zentrale Stellung zu. So war der Beweis der Existenz von Gleichgewichtspreisen in ökonomischen Systemen erst mit Hilfe des berühmten Satzes von Brouwer möglich. Es ist daher nicht erstaunlich, dass das erste numerisch brauchbare Verfahren von einem Oekonomen entwickelt wurde. H. Scarf veröffentlichte 1967 einen Algorithmus zur Bestimmung von Fixpunkten einer stetigen Abbildung eines Simplex in sich, deren Existenz bereits 1910 von L. E. Brouwer bewiesen wurde. Wie bereits erwähnt, ist Scarf’s Methode eng mit dem Lemke-Algorithmus verwandt und darf als eine der wichtigsten Auswirkungen der Komplementaritätstheorie betrachtet werden. Scarf’s Entdeckung öffnete das Feld zu einem neuen Forschungsgebiet. Die Effizienz der numerischen Verfahren wurde verbessert durch H. Kuhn (1968), C. Eaves (1971d), C. Eaves und R. Saigal (1972), O. H. Merrill (1972). In Merrill’s Dissertation ist ein besonders einfacher Algorithmus zur Bestimmung von Fixpunkten gewisser Abbildungen des Rⁿ in sich beschrieben, auf welche sich die vorliegende Arbeit besonders stützt.