Zusammenfassung
Bis anhin haben wir uns rein strömungsmechanischen Fragestellungen zuge-wendet und mit Hilfe von mechanischen Gesetzen die Bewegung von tropfbaren Fluiden (Wasser, Öle, etc.) und von Gasen (Luft, etc.) untersucht. Neben den allgemeinen Gesetzen der Massen- und Impulserhaltung sind zwar auch noch materialtechnologische Aussagen gemacht worden, wie etwa bei der Postulierung des Zusammenhangs zwischen Schubspannung und Scherwinkel beim einfachen Schubversuch, oder der Beziehung zwischen Spannungstensor und Verzerrungsgeschwindigkeitstensor beim viskosen Fluid (Kapitel 4). Die Formuherung dieser Gesetze ist jedoch in recht pauschaler Form erfolgt ohne wesentliche Abstützung auf physikahsche Prinzipien und bewährt sich letzthch nur am Experiment. Ziel war es, die mechanischen Bilanzaussagen durch ergänzende Gesetze, welche das Materialverhalten beschreiben, (wenigstens prinzipiell) integrierbar zu machen und so zu einem geschlossenen System von Gleichungen zu gelangen. In diesem Sinne nennt man solche Gesetze oder Gleichungen auch Schließbedingungen.
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Literature
Es empfiehlt sich hier aus didaktischen und lerntechnischen Gründen für die meisten Leser, diese mathematischen Gesetze anfänglich nicht allzusehr nach ihrem physikalischen Hintergrund zu hinterfragen, sondern deren Aussage frunktionell und mathematisch zu akzeptieren und die Folgerungen, welche sie nach sich ziehen, zu verstehen. Die Gesetze sind nämlich nur in vereinfachten Fällan physikalisch streng begründbar und müssen im allgemeinen Fall als Axiome hingenommen werden.
Die Ansammlung der Flüssigkeit am Boden ist die Folge der Erdanziehung, da die größeren Flüssigkeitstropfen wegen ihres entsprechend größeren Gewichts durch die Molekülstöße des Gases nicht mehr in Schwebe gehalten werden können. Bei Durchführung des Experimentes unter Schwerelosigkeit würden sich die Flüssigkeitstropfen im ganzen Zylinder homogen verteilen, und nach sehr langer Zeit würden sich diese zu größeren Flüssigkeitsgebieten vereinigen.
Eine Begründung für den Faktor 4 können wir hier nicht geben.
Nach dem Physiker Adolf Fick (1829–1902), der an den Universitäten Zürich und Würzburg Professor war.
D.h. der Spannungstensor reduziert sich auf den Drucktensor t = −p1.
Tafeln der spezifischen Energie als Funktion der absoluten Temperatur and parameterisiert für verschiedene Werte der Dichte ρ oder des spezifischen Volumens 1/ρ für reale Fluide sind in Büchern der Technischen Thermodynamik enthalten: Siehe z. B. Baehr (1988) „Thermodynamik“, Springer, Berlin etc., sechste Auflage.
In den Formeln (6.102)–(6.106) bezeichnen ν e und ν a die spezifischen Volumen im Eintritt und Austritt; später wird wieder v zur Bezeichnung des spezifischen Volumens gewählt, weil dann keine Gefahr der Verwechslung mit der Geschwindigkeit besteht.
Wir bezeichnen das spezifische Volumen hier mit v.
Da in Abschnitt 6.3.3 alle Größen auf das Molvolumen bezogen sind, wollen wir hier die Differenz der Molwärmen berechnen. Daher wählen wir auch große Buchstaben für C m p und C m v
W. Thomson (Lord Kelvin, 1824–1907), hat im Jahre 1851 die Clausiussche oder Plancksche Aussage in folgende Worte gekleidet: „It is impossible, by means of inanimate material agency, to derive mechanical effect from any portion of matter by cooling it below the temperature of the coldest of the surrounding objects“.
W. Muschik, Am. J. Phys. 58(3), 1990: 241–244.
Man müßte \(\tilde p\) schreiben, weil p = \(\tilde p\) (u, v) als Funktion von u und v betrachtet wird.
Siehe Anhang A.
Die Eigenschaft der Monotonie ist wichtig, da erst diese die absolute Temperatur zu einer Kandidatin für ein objektives Maß des Wärme- und Kälteempfindens macht.
Der Drallsatz sagt lediglich aus, daß deer Cauchy-Spannungstensor symmetrisch ist (siehe Abschnitt 3.5, insbesondere Formel (3.272)) und wird aus diesem Grunde oft nicht erwähnt.
Die Massenbilanz wird in Abschnitt 3.2 behandelt und findet z. B. in den Gleichungen (3.44) bzw. (3.45) ihren Ausbruck. Der Impulssatz wird in Abschnitt 3.3 und wieder in Abschnitt 4.1 behandelt. In der in (6.209) dargestellten Form erscheint er z. B. in Gleichung (4.5). Der Energiesatz (6.209)3 findet in Gleichung (6.84) seine Entsprechung. Dort ist er mit t = −p1 + tR allerdings in der Form \( \rho \frac{{du}}{{dt}} = - divq - pdivv + tr({t^R}D) + \rho q \) geschrieben.
Die formale Theorie der Postulierung von Materialgleichungen wird in Büchern der Kontinuumsmechanik und Kontinuumsthermodynamik behandelt, siehe z. B. I. Müller: Thermodynamikm, Grundlagen der Materialtheorie, Bertelsmann Düsseldorf, [1973], E. Becker und W. Bürger: Kontinuumsmechanik, Teubner Stuttgart, [1976].
Um dies einzusehen, bezeichne man die letzte Zeile von (6.241) mit Φ und setze Ḋ = 0, (gradT)̇ = 0. Dann folgt aus (6.241) \( \mathop{T}\limits^{.} \rho (T\frac{{\partial \hat{s}}}{{\partial T}} - \frac{{\partial \hat{u}}}{{\partial T}} \geqslant - \Phi \) was für die Wahl \( \mathop{T}\limits^{.} \leqslant - \Phi /\rho \left( {T\frac{{\partial \hat{s}}}{{\partial T}} - \frac{{\partial \hat{u}}}{{\partial T}}} \right) \) verletzt werden kann. Verschwindet aber der Klammerterm, dann ist die Ungleichung für alle Ṫ nicht verletzt. Ähnlich kann man auch argumentieren, wenn man der Reihe nach Ṫ = 0, Ḋ = 0, (gradT)̇ ≠ 0 oder Ṫ = 0, Ḋ ≠ 0, (gradT)̇ = 0 wählt.
Es handelt sich hier um die Anwendung eines Satzes aus der Analysis mehrerer Variablen über Extrema von differenzierbaren Funktionen. Ist f(x 1…,x N )eine solche Funktion, dann liegen die Extrema von f dort, wo \( \frac{{\partial f}}{{\partial {x_i}}} = 0,(i = 1,...,N) \), und eine notwendige Bedingung dafür, daß ein solches E xtremum ein Minimum darstellt, ist die Bedingung, daß die Matrix \( {A_{{ij}}} \doteq \left( {\tfrac{{{\partial^2}f}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}}} \right) \) positiv definit ist. Wird das Minimum in einer Umgebung eines Punktes angenommen, so ist A ij positiv semi-definit.
Baron Jean Baptiste Fourier (1768–1830) war ein französischer Mathematiker, Professor an der Ecole Normale und an der Ecole Polytechnique, später — unter Napoleon — Gouverneur von Ägypten. Nach ihm sind auch die Fourier-Reihen benannt, die er in seinem Hauptwerk Théorie analytique de chaleur (1822) als erster anwendete.
Andrien Marie Legendre (1752–1833), Mathematiker, Professor in Paris. Erarbeitete über elliptische und transzendente Funktionen und entwickelte 1806 unabhängig von Gauß die Methode der kleinsten Quadrate (Fehlerrechnung); er hat auch astronomische Berechnungen durchgeführt. Nach ihm sind die Legendre-Polynome benannt.
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Hutter, K. (2003). Thermodynamik. In: Fluid- und Thermodynamik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-55804-7_6
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