Kalman—Filter

Zusammenfassung

Bei dem in Kapitel 8 betrachteten Optimalfilter nach Wiener und Kolmogoroff gelingt eine Lösung der als Wiener-Hopf-Integralgleichung bezeichneten Gleichung 8.13 nur für eine unendlich lange Beobachtungsdauer - bei kausalem Filter beispielsweise von minus unendlich bis zur Gegenwart. Dies bedeutet, daß der Filterausgang erst nach Abklingen aller Einschwingvorgänge optimal ist. Eine weitere — oft wesentliche — Einschränkung liegt darin, daß das Filterproblem nur für stationäre Eingangsprozesse gelöst werden kann. Es hat zahlreiche Versuche gegeben, die Wiener-Hopf-Integralgleichung unter weniger einschränkenden Voraussetzungen zu lösen [116]. Kalman gelang zunächst eine Lösung des Optimalfilterproblems für zeitdiskrete Prozesse [56]. Kalman und Bucy fanden dann eine Lösung auch für zeitkontinuierliche Prozesse [57]. Beide Lösungen gehen von Prozeßmodellen aus, die mit Hilfe von Zustandsvariablen formuliert werden. Hergeleitet werden lineare rekursive Filter, die kausal sind und deren Ausgang bereits vom Einschaltzeitpunkt an optimal ist. Durch die Benutzung von Zustandsvariablen entfällt der bei der Bestimmung der Gewichtsfunktion des Wiener-Kolmogoroff-Filters notwendige Umweg über den Frequenzbereich und die für das kausale Filter notwendige Faktorisierung des Leistungsdichtespektrums des Filtereingangs.