Poissonmannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Wie schon Lie [1890, Abschnitt 75] gezeigt hat, ist auf dem Dualraum g* einer Liealgebra g durch

$$ \{ F,G\} (\mu ) = \left\langle {\mu ,\left[ {\frac{{\delta F}} {{\delta \mu }},\frac{{\delta G}} {{\delta \mu }}} \right]} \right\rangle $$

mit μ ∈ g* eine Poissonklammer gegeben. Wie wir in der Einleitung gesehen haben, spielt diese Lie-Poisson-Klammer eine wichtige Rolle in der Hamiltonschen Beschreibung vieler physikahscher Systeme. Diese Klammer ist keine zu einer symplektischen Struktur auf g* assoziierte Klammer, sondern ein Beispiel für das allgemeinere Konzept einer Poissonmannigfaltigkeit. Wir werden aber in Kap. 13 und 14 sehen, wie diese Klammer mit einer symplektischen Struktur auf koadjungierten Orbits und der kanonischen symplektischen Struktur auf T ^* G zusammenhängt. Kapitel 15 vertieft dies dann am Beispiel des starren Körpers.