Über Thetareihen zu großen Untergruppen der rationalen Modulgruppe

Zusammenfassung

In der vorliegenden Abhandlung werden Thetareihen einer komplexen Variablen konstruiert und untersucht, welche zu Untergruppen vom Index 1 oder 3 der rationalen Modulgruppe ₁Γ gehören. Der Indexwert 3 tritt bevorzugt auf; die Mehrzahl der neu eingeführten Thetareihen stellt Modulformen der sog. Thetagruppe Γ_ϑ dar, die in ₁Γ den Index 3 hat. Das Vorbild dieser Modulformen findet sich als ϑ= ϑ₃ unter den drei klassischen Theta-Nullwerten

$$\begin{gathered} {{\vartheta }_{2}}\left( \tau \right) = \sum\limits_{{m \equiv 1\;(2)}} {\exp \pi \;i\;{{m}^{2}}\frac{\tau }{4}} , \hfill \\ {{\vartheta }_{3}}\left( \tau \right) = \sum\limits_{{m = - \infty }}^{{ + \infty }} {\exp \;\pi \;i\;{{m}^{2}}\tau ,\;{{\vartheta }_{0}}\left( \tau \right) = {{\vartheta }_{3}}\left( {\tau + 1} \right)} , \hfill \\ \end{gathered}$$

((0.1))

und Γ_ϑ kann als Invarianzgruppe von ϑ in ₁Γ definiert werden (vgl. [8] ^*). Die Invarianzgruppen Γ₀ [2] von ϑ₂ und Γ⁰ [2] von ϑ₀ in ₁Γ (vgl. (3.7)) bilden mit Γ_ϑ eine volle Klasse Konjugierter in ₁Γ; man gelangt demgemäß wie bei (0.1) von der expliziten Darstellung einer Modulform der Γ_ϑ durch zwei der üblichen Transformationen zu expliziten Darstellungen von Modulformen der Γ₀ [2] und Γ⁰ [2]. Von den Graden (Dimensionen) — r der entstehenden Modulformen ist festzustellen, daß hier ganz- und halbzahlige Werte r (die stets >0 sind) gleichberechtigt auftreten.