Lineare Programmierung

Zusammenfassung

Ein Programm mit endlich vielen Restriktionen heißt linear, wenn die Zielfunktion und sämtliche Restriktionen linear sind, und wenn der Grundbereich C = ℝⁿ ist. Ein lineares Programm hat also im Falle eines Minimumproblems die folgende Form:

$$\min \left\{ {{c^T}x|{A_1}x \geqq {b_1},{A_2}x = {b_2}} \right\}]$$

.Geometrisch betrachtet, liegt ein lineares Programm immer dann vor, wenn eine lineare Funktion auf einem Polyeder zu minimieren oder zu maximieren ist. Häufig treten bei linearen Programmen Nebenbedingungen in Form von Vorzeichenbeschränkungen (Nichtnegativi tätsforderungen) der Variablen auf. Es ist üblich und meist praktisch, diese speziellen Nebenbedingungen besonders hervorzuheben. Tut man dies, so erhält man als die allgemeinste Form eines linearen Programms die folgende „vollstäding gemischte“ Form, die wir stets mit P bezeichnen ¹:

$$ \begin{gathered} \min \,c_1^T{x_1} + c_2^T{x_2} \hfill \\ \quad \;\;{A_{11}}{x_1} + {A_{12}}{x_2} \geqq {b_1} \hfill \\\quad \;\;{A_{21}}{x_1} + {A_{22}}{x_2} = {b_2} \hfill \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\;{x_2} \geqq \,\,0\hfill \\\end{gathered}$$

((1))

. Die nicht vorzeichen beschränkten Variablen heißen auch freie Variable.