Die Indexformel für geschlossene Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Sei X eine geschlossene (d.h. kompakte und unberandete) orientierte Riemannsche C^∞-Mannigfaltigkeit der Dimension n, die „trivial“, d.h. mit trivialem Normalenbündel in den euklidischen Raum IR^n+m eingebettet ist. E und F seien Hermitesche Vektorraumbündel über X und P ∈ Ell_k(E,F), k ∈ Z. Dann gilt die folgende Formel: SATZ 1 (M.F. ATIYAH, I.M. SINGER 1963:

$$index\ P = (-1)^{n} \alpha^{n+m} ([\sigma (P)] \otimes b^{m}),$$

wo [σ(P)] ∈ K(TX) die „Symbolklasse“ von P, b ∈ K(IR²) die „Bottklasse“ und α^n+m: K(IR^2(n+m)) → Z der iterierte Bottisomorphismus sind.