Zur Quantisierung nichtlinearer Gleichungen

Zusammenfassung

In der Quantentheorie der Wellenfelder sind neuerdings Methoden entwickelt worden, die auch bei strenger Berücksichtigung des relativistischen Charakters der Gleichungen die Berechnung stationärer Zustände gestatten^1–6. Diese Methoden sind eng verwandt mit einem Formalismus, der schon vor langer Zeit von Landau und Peierls⁷ angegeben worden ist. Die Beziehungen zwischen den Operatoren werden dabei abgebildet auf ein unendliches System von Differential- bzw. Integralgleichungen zwischen Funktionen von endlich vielen Variabein, wobei diese Funktionen mit gewissen Vorbehalten mit Schrödingerfunktionen in mehrdimensionalen Konfigurationsräumen verglichen werden können. Praktisch sind solche Methoden allerdings bisher nur dort mit Erfolg angewendet worden, wo nach einem kleinen Kopplungsparameter entwickelt werden kann; grundsätzlich ist ihre Anwendung aber nicht auf solche Fälle beschränkt. Wenn es sich insbesondere um Operator-Wellengleichungen mit starker Wechselwirkung⁸ handelt, bei denen die üblichen Divergenzen nicht durch Renormierung beseitigt werden können, so versagen die gebräuchlichen Methoden, während das genannte System von Differential- bzw. Integralgleichungen noch in verhältnismäßig einfacher mathematischer Form Aussagen enthält über das Verhalten der Wellenfunktionen in den kritischen Gebieten, in denen jede Störungstheorie unanwendbar wird.