n-dimensionale Differentialgeometrie

Zusammenfassung

Die nächstliegende Verallgemeinerung der Theorie der Kurven und Flächen im gewöhnlichen euklidischen Raum ist die Betrachtung m-dimensionaler Mannigfaltigkeiten (kurz Flächen genannt) im n-dimensionalen euklidischen Raum, also von Punktmengen, die sich in endlich viele Stücke zerlegen lassen, deren Punkte als cartesische Koordinaten Funktionen von m Parametern haben. Dabei sollen diese Funktionen mehrmals differenzierbar sein und eine Funktionalmatrix vom Range m haben, damit wirkhch eine m-dimensionale Fläche entsteht. Natürlich interessiert man sich nur für alles, was unabhängig von der speziellen Parameterdarstellung ist. Das ideale Mittel für parameterfreie Darstellungen ist der Cartansche Kalkül der alternierenden Differentialformen, dessen Durchschlagskraft sich schon in den vorangehenden Kapiteln für m = 2, n = 3 bewährt hat und den wir hier als bekannt voraussetzen werden¹. Um nun die euklidische Metrik des n-dimensionalen Raumes zur Geltung zu bringen, pflegt man den Betrachtungen ein orthonormiertes n-Bein zugrunde zu legen, das im allgemeinen von Ort zu Ort auf der Fläche variiert. Diese Methode des beweglichen n Beines hat jedoch nur für die Kurventheorie invariante Bedeutung, in der jedem Kurvenpunkt das n-Bein im allgemeinen eindeutig angepaßt werden kann (das ist die wesentliche Grundlage der Theorie der höheren Krümmungen). Für m> 1 wird eine solche eindeutige Anpassung jedoch nicht mehr möglich sein, und so muß man nachträglich aus den jeweils gewonnenen Ergebnissen den invarianten Kern herausschälen.