Zusammenfassung
Eine Gruppe Г des Grades n, deren Ordnung eine Primzahlpotenz pa ist, kann immer auf monomiale Gestalt transformiert werden. Ist pb die höchste in n! aufgehende Potenz von p, so enthält Г einen Abelschen Normalteiler, dessen Index ein Teiler von pb ist. Er besteht aus den Substitutionen der monomialen Gruppe, welche nur in der Hauptdiagonalen von 0 verschiedene Zahlen haben (Satz 119). Das Problem, alle Substitutionsgruppen n-ten Grades, deren Ordnung eine Potenz von p ist, aufzustellen, ist zurückgeführt auf das Problem, die Sylow-gruppe von der Ordnung pb für die symmetrische Gruppe von n Variablen zu bestimmen. Wir sind noch weit davon entfernt, ein ähnliches Konstruktionsprinzip für alle endlichen Gruppen des Grades n anzugeben, aber einige hochwichtige Resultate sind in dieser Hinsicht bereits erzielt worden.
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Literature
Vgl. die historischen Angaben im Enzyklopädieartikel von Wiman über endliche Gruppen linearer Substitutionen. Math. Enz. Bd. I 1, S. 528f.
Bieberbach, L.: Über einen Satz des Herrn C. Jordan in der Theorie der endlichen Gruppen linearer Substitutionen. Berl. Ber. 1911, S. 231–240.
Frobenius, G.: Über den von L. Bieberbach gefundenen Beweis eines Satzes von C. Jordan. Berl. Ber. 1911, S. 241–248. Außerdem die oben erwähnte Abhandlung über unitäre Matrizen.
Wichtige Ergänzungen enthalten L. E. Dickson: On the group defined for any given field by the multiplication table: Amer. math. Soc. Trans. Bd. 3 (1902), S. 285–301. Modular theory of group characters: Amer. math. Soc. Bull. (2) Bd. 13 (1907), S. 477–488.
Bieberbach, L.: Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume. Math. Ann. Bd. 70 (1911), S. 297 und Bd. 72 (1912), S. 400. - Frobenius, G.: Über die unzerlegbaren diskreten Bewegungsgruppen. Berl. Sitzgsber. 1911, S. 654. Bieberbach, L.: Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume. Math. Ann. Bd. 70 (1911), S. 297 und Bd. 72 (1912), S. 400. - Frobenius, G.: Über die unzerlegbaren diskreten Bewegungsgruppen. Berl. Sitzgsber. 1911, S. 654.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Speiser, A. (1927). Gruppen von gegebenem Grade. In: Die Theorie der Gruppen von Endlicher Ordnung. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 5. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-90855-2_16
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