Einführung der Thetafunctionen. Ausdruck der vier Ϭ-Functionen durch die Functionen ϑ(υ∣τ) und Θ(u∣ῶ,ῶ′)

Zusammenfassung

Durch Entwickelung nach Potenzen der Grösse v und Vergleichung der Anfangsglieder erhält man aus den Gleichungen (15–18.) des vorhergehenden Art. folgende Ausdrücke für die im Art. 33 (7–10.) bestimmten Wurzelgrössen:

$$\sqrt {\frac{{2{\rm{\tilde \omega }}}}{{\rm{\pi }}}\sqrt[{^8}]{G}} = \frac{1}{{2{\rm{\tilde \omega }}}}{\vartheta _1}^\prime (0) = \frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{\tilde \omega }}}}{h^{\frac{1}{4}}}(1 - 3{h^{1 \cdot 2}} + 5{h^{2 \cdot 3}} - 7{h^{3 \cdot 4}} + \cdots ),$$

((1.))

$$\sqrt {\frac{{2{\rm{\tilde \omega }}}}{{\rm{\pi }}}} \sqrt[{^4}]{{{e_\mu } - {e_v}}} = {\vartheta _2}(0) = 2{h^{\frac{1}{4}}}(1 + {h^{1 \cdot 2}} + {h^{2 \cdot 3}} + {h^{3 \cdot 4}} + \cdots ),$$

((2.))

$$\sqrt {\frac{{2{\rm{\tilde \omega }}}}{{\rm{\pi }}}} \sqrt[{^4}]{{{e_\lambda } - {e_v}}} = {\vartheta _3}(0) = 1 + 2h + 2{h^4} + 2{h^9} + \cdots ,$$

((3.))

$$\sqrt {\frac{{2{\rm{\tilde \omega }}}}{{\rm{\pi }}}} \sqrt[{^{ \cdot 4}}]{{{e_\lambda } - {e_\mu }}} = {\vartheta _0}(0) = 1 - 2h + 2{h^4} - 2{h^9} + \cdots .$$

((4.))