Objekte mit algebraischer Struktur

Zusammenfassung

Algebraische Strukturen auf Mengen entstehen dadurch, daß „algebraische Verknüpfungen“ wie Multiplikation oder Addition von je zwei Elementen, Inversenbildung bezüglich einer solchen Verknüpfung und neutrale Elemente definiert werden. Wir beschränken uns dabei auf solche Operationen, die durchweg definiert sind und nicht nur für Elemente von Teilmengen. Das bedeutet insbesondere, daß wir auf Körper und Divisionsalgebren verzichten, weil da die Inversenbildung bezüglich der Multiplikation nicht durchweg definiert ist. Mit dieser Beschränkung lassen sich algebraische Verknüpfungen durch Abbildungen von Produkten und die üblichen Gesetze für solche Verknüpfungen durch kommutative Diagramme beschreiben. Das ist aber in einer beliebigen Kategorie möglich, sofern die benötigten Produkte und ein terminales Objekt vorhanden sind, was im folgenden jeweils unterstellt ist. Durch Dualisierung entstehen coalgebraische Strukturen, wobei Coprodukte und initiale Objekte benötigt werden. Hier sind interessante Beispiele in Ens nicht verfügbar, wohl aber in anderen Kategorien.