Die Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes. Das Dirichletsche Prinzip

Zusammenfassung

Wir haben in Kap. 6 unser allgemeines Ziel, zu vorgegebenen Bereichen zugehörige analytische Funktionen zu konstruieren, nur für den speziellen Fall schlichter einfach zusammenhängender Gebiete gelöst. Die dort entwickelten Methoden, insbesondere das Schwarzsche alternierende Verfahren, sind zwar weitgehender Verallgemeinerungen fähig. Wir werden aber in diesem Kapitel, in dem wir uns der gestellten Aufgabe in ihrer vollen Allgemeinheit zuwenden, von vornherein einen ganz anderen, von den Resultaten des Kap. 6 unabhängigen Weg einschlagen, der.sich enger an den ursprünglichen Ansatz Riemanns anschließt und von Riemann mit dem Worte „Dirichletsches Prinzip“ bezeichnet worden ist. Diese Methode beruht wesentlich auf potentialtheoretischen Gedanken und hängt auf das engste mit anschaulichen Vorstellungen von Strömungsvorgängen zusammen. Den einzuschlagenden Weg kennzeichnen wir zunächst unter der vereinfachenden Annahme, daß es sich um ein schlichtes Gebiet handelt, werden aber dann unseren Existenzbeweis unter den allgemeinsten Voraussetzungen durchführen.