Hilfsmittel aus Analysis, Kombinatorik und Stochastik

Zusammenfassung

An verschiedenen Stellen benötigen wir einen hinreichend reichhaltigen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, auf dem eine Folge X ₁, X ₂, ... stochastisch unabhängiger ℝ^d-wertiger Zufallsvektoren mit vorgegebenen Verteilungen definiert ist. Nach allgemeinen Sätzen der Maßtheorie kann hierfür der Grundraum

$$ \Omega := (\mathbb{R}^{d})^\mathbb{N} := \{ \omega := (\omega_{j})_{j \geq 1} : \omega_{j} \in \mathbb{R}^{d} \text{ für } j \geq 1 \} $$

sowie für X _j die j-te Koordinatenabbildung $X_{j}(\omega) := \omega_{j}, \omega \in \Omega$, gewählt werden. Die σ-Algebra $\mathcal{A}$ über Ω ist die kleinste σ-Algebra über Ω, bezüglich welcher jede der Abbildungen $X_{j} : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{d} (\mathcal{A}, \mathcal{B}^{d}) \text{-messbar }$ ist. Dabei bezeichnet $\mathcal{B}^{d}$ die vom System der offenen Mengen erzeugte σ-Algebra der Borelmengen des ℝ^d. Die σ-Algebra $\mathcal{A}$ enthält also insbesondere für jedes j ≥ 1 die Urbilder $X_{j}^{-1}(B) = \{ \omega \in \Omega : X_{j}(\omega) \in B \}$ jeder Borelschen Menge $B \in \mathcal{B}^{d}$.