Integration

Zusammenfassung

Der Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmt sich aus dem Produkt der Längen seiner beiden Seiten. Doch wie bestimmt sich der Inhalt krummlinig begrenzter Flächen, beispielsweise einer Ellipse? Oder die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der Abszisse, wenn diese Funktion nicht konstant ist? Die naheliegende, bereits von Archimedes angewandte Idee ist, solche Flächen durch Rechteckflächen – deren Inhalt wir ja kennen – zu approximieren. Wenn alles gut geht, konvergieren deren Flächeninhalte gegen einen Wert, den wir als den Inhalt dieser krummlinig begrenzten Fläche definieren können.

Wir werden daher das Integral zuerst für sogenannte Treppenfunktionen definieren. Diese sind stückweise konstant, und ihr Integral ist nichts anderes als die mit Vorzeichen gewichtete Summe der zugehörigen Rechteckflächen. Dieses Integral repräsentiert somit unseren vertrauten Flächenbegriff.

Anschließend geht es darum, dieses Integral auf Funktionen auszudehnen, die sich durch Treppenfunktionen approximieren lassen. Diese Approximation kann allerdings auf unterschiedliche Weisen erfolgen, und führt zu unterschiedlichen Integralbegriffen wie dem Cauchy-, Riemann- oder Lebesgueintegral.

Wir beschränken uns hier auf das Cauchyintegral, auch Regelintegral genannt, da es für unsere unmittelbaren Zwecke ausreicht und am leichtesten zu definieren ist.