Zusammenfassung
Der Konvergenzbegriff ist der konzeptuelle Kern der Analysis. Er präzisiert die Vorstellung, dass sich „eine Zahl immer mehr einem Grenzwert annähert“. Wie ist das zu verstehen? Zunächst ist offenbar nicht von einer einzigen Zahl die Rede, sondern von einer ganzen Folge von Zahlen, zum Beispiel (1, ½, 1/3, ...) – diese nähern sich dem Grenzwert 0 an –, oder auch von den verschiedenen Werten einer Funktion. Die Definition der Konvergenz ist für Zahlenfolgen leichter zu verstehen als für Funktionen, daher beschäftigen wir uns in diesem Kapitel mit Folgen reeller Zahlen. Grenzwerte von Funktionen werden später in Kap. 11 behandelt.
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Notes
- 1.
Der in der Aufgabe behandelte Limes der Folge der arithmetischen Mittel s n einer Folge \((a_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) heißt der Cesaro-Limes von \((a_{n})_{n\in\mathbb{N}}\). Die zu beweisenden Behauptungen besagen, dass der Cesaro-Limes eine Verallgemeinerung des klassischen in unserer Vorlesung behandelten Limes ist, d. h. jede konvergente Folge konvergiert auch im Cesaro-Sinne, aber es gibt auch divergente Folgen, die im Cesaro-Sinne konvergieren.
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Grieser, D. (2015). Konvergenz von Folgen. In: Analysis I. Springer Studium Mathematik - Bachelor. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-05947-7_7
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Publisher Name: Springer Spektrum, Wiesbaden
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Online ISBN: 978-3-658-05947-7
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