Skip to main content
SpringerLink
Log in

Aufgabenlösen in der Analysis

  • Chapter
  • First Online:
Wie kommt man darauf?

  • 3293 Accesses

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geben wir zunächst einige Anwendungsbeispiele für die Lösungsprinzipien Visualisierung und Interpretation sowie das Induktions- und Extremalprinzip in der Analysis. Wir widmen uns längere Zeit den zahlreichen Anwendungen des Königschen Lemmas und gehen dann zu einigen gebietsspezifischen Strategien über wie dem Teleskopprinzip, der Idee der Approximation und dem Stetigkeitsprinzip, d.h. Anwendungen des Zwischenwertsatzes. Eine Vielzahl ausgewählter Übungsaufgaben rundet das Kapitel ab.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this chapter

Log in via an institution

Institutional subscriptions

Notes

  1. 1.

    Nach einem Vorschlag von Oliver Schnürer.

  2. 2.

    Wer sehr geschickt im Raten ist, kann durch \(1,-1,-11,-49\) auf die Bildungsvorschrift \(2^{i}-3^{i-1}\) kommen, mit der die Aufgabe sich auch tatsächlich lösen lässt.

  3. 3.

    Dieser Abschnitt ist angeregt durch T, Abschnitt (2): „Give yourself an \(\varepsilon\) of room“.

  4. 4.

    Dieser Abschnitt ist angelehnt an T, Abschnitt (3): „Decompose or approximate a rough or general object by a smooth or simpler one“.

  5. 5.

    Vgl. Kap. 3, Bsp. 5.

  6. 6.

    Dieser Abschnitt ist angeregt durch L, Kap. 6.2.

  7. 7.

    Dies ist ein Sonderfall des ‘Satzes vom Schinkenbrot’ in zwei Dimensionen, der auch in höheren Dimensionen gilt – Nachlesen lohnt sich!

  8. 8.

    Vgl. auch https://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/cgi-bin/yabb/YaBB.cgi?board=riddles_hard;action=display;num=1211883178.

  9. 9.

    Tipp: \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}=\frac{n}{n+1}\frac{1}{n}+\frac{n}{n+2}\frac{1}{n}+\ldots+\frac{n}{2n}\frac{1}{n}\), siehe nun Abschnitt 13.1.

  10. 10.

    Tipp: Was wissen wir über \(p(5)\)? Wie kann man p also darstellen?

  11. 11.

    Tipp: Was wissen wir über \(p(4)\) und \(p(6)\)? Benutze (a).

  12. 12.

    Eine Funktion \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) heißt „konvex“, falls \(f(ax+by)\leq af(x)+bf(y)\) für alle \(x,y\in\mathbb{R}\) und \(a,b\in\mathbb{R}^{+}\) mit a + b = 1.

  13. 13.

    Vgl. Kap. 2.

  14. 14.

    Tipp: Benutze das Schubfachprinzip. Wähle \(k\in\mathbb{N}\) groß genug, dass \(\frac{1}{k}<\varepsilon\) und unterteile \(\mathbb{R}^{+}_{0}\) in Intervalle der Länge \(\frac{1}{k}\). Betrachte als Objekte die Zahlen der Form \(n\alpha\), \(n\in\mathbb{N}\) und als Schubfächer die k Mengen \(S_{j}=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}[i+\frac{j-1}{k},i+\frac{j}{k}]\) mit \(j\in\{1,\ldots,k\}\). Wenn \(m\alpha\) und \(n\alpha\) im gleichen Schubfach landen, betrachte \((m-n)\alpha\).

Literatur

  1. Andreescu, T., Gelca, R.: Putnam and Beyond. Springer, New York (2007)

    MATH  Google Scholar 

  2. Caicedo, A.: Teaching Blog, Post 502. https://caicedoteaching.wordpress.com/2009/08/24/502-konigs-lemma/ (2012). Zugegriffen: 01.03.2017

    Google Scholar 

  3. Courant, R., Robbins, H.: Was ist Mathematik? Springer Verlag, Berlin Heidelberg (1967)

    MATH  Google Scholar 

  4. Dawson, J.: Why prove it again? Alternative Proofs in Mathematical Practice. Birkhäuser (2015)

    Book  Google Scholar 

  5. Engel, A.: Problem Solving Strategies. Springer, New York (1998)

    MATH  Google Scholar 

  6. Fritzsche, Klaus. Trainingsbuch zur Analysis 1: Tutorium, Aufgaben und Lösungen. Springer Spektrum (2013)

    Book  Google Scholar 

  7. Gowers, T.: What is the point of the mean value theorem? https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/meanvalue.html. Zugegriffen: 11.04.2017

  8. Hancl, J., Rucki, P.: Increase your Mathematical Intelligence. University of Ostrava (2008)

    Google Scholar 

  9. Kaye, R.: The Mathematics of Logic. A Guide to Completeness Theorems and their Applications. Cambridge University Press, New York (2007)

    Book  Google Scholar 

  10. Larson, L.: Problem-Solving Through Problems. Springer, New York (1983)

    Book  Google Scholar 

  11. Putnam Competition. Die Aufgaben sind online verfügbar unter http://kskedlaya.org/putnam-archive/. Zugegriffen 04.04.2017

  12. Polya, G., Szegö, G.: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis I und II. Vierte Auflage. Springer, Heidelberg New York (1971)

    Book  Google Scholar 

  13. Simpson, S.: Subsystems of Second Order Arithmetic. The Association for Symbolic Logic, Cambridge University Press, New York (2009)

    Book  Google Scholar 

  14. Sury, B.: Weierstrass’s theorem – leaving no ‘Stone’ unturned. Resonance 16(341) Springer (2011)

    Google Scholar 

  15. Tao, T.: Blog Post 254A: Problem Solving Strategies. https://terrytao.wordpress.com/2010/10/21/245a-problem-solving-strategies/ (2010). Zugegriffen 04.04.2017.

    Google Scholar 

  16. Tao, T.: An Introduction to Measure Theory. American Mathematical Society Providence RI (2011)

    Book  Google Scholar 

  17. Walter, R.: Einführung in die Analysis 1. De Gruyter, Berlin (2007)

    MATH  Google Scholar 

  18. Zeitz, P.: The Art and Craft of Problem Solving. Wiley, New York (2006)

    MATH  Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Fachbereich Mathematik und Statistik, Universität Konstanz, Konstanz, Baden-Württemberg, Deutschland

    Merlin Carl

Authors
  1. Merlin Carl
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Corresponding author

Correspondence to Merlin Carl .

Rights and permissions

Reprints and permissions

Copyright information

© 2017 Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

About this chapter

Cite this chapter

Carl, M. (2017). Aufgabenlösen in der Analysis. In: Wie kommt man darauf?. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-18250-2_13

Download citation

Publish with us

Policies and ethics

Search

Navigation