Kreditrisiko und Kreditderivate

Zusammenfassung

Die große Kreditkrise ab 2007 wurde oft in Verbindung mit mathematischer Modellierung und komplizierten Kreditprodukten wie z.B. dem CDO („Collateralized Default Obligation“) gebracht. Im Rahmen dieses Kapitels werden zunächst Grundbegriffe der Kreditbewertung und dann die Formel von Vasicek für die Grenzverteilung der Ausfälle in einem homogenen Kreditportfolio entwickelt.

Im Anschluss werden die beiden Hauptmodellierungskonzepte,

• der strukturelle Ansatz der Ausfallmodellierung („Firmenwert-Modell“) und

• der reduzierte Ansatz der Ausfallmodellierung („Intensitätsbasiertes Modell“),

zusammen mit jeweils populären, konkreten Modellrealisierungen wie z.B. das Merton-Modell, das Jarrow-Turnbull-Modell oder das Black-Cox-Modell vorgestellt.

Ein Überblick über populäre Kreditderivate bis hin zum CDO leitet den zweiten Teil des Kapitels ein. Um Kreditderivate bewerten zu können, wird der Begriff der Copula als Werkzeug zur Modellierung mehrdimensionaler Abhängigkeiten in einem Exkurs eingeführt. Danach schließt sich die Vorstellung des in der Praxis weit verbreiteten Copula-Modells nach Li an, das im Nachgang der Finanzkrise viel kritisiert und theoretisch verallgemeinert wurde.

Ein kurzer Überblick über die Bewertung von CDOs beschließt das Kapitel.

Übungsaufgaben

• 1. Berechne im Merton-Modell mit zwei Krediten A und B mit Nennwert $F_{A}$ bzw $F_{B}$ und identischer Laufzeit $T$ die Werte der beiden Kredite zum Zeitpunkt $t<T$, falls Kredit A die höhere Seniorität besitzt.

• 2. Zeige, dass sich im Black-Cox-Modell der Aktienpreis als der Wert einer geeigneten Down-and-Out-Call-Option auf den Firmenwert ergibt und berechne ihn.

• 3. Berechne im Merton-Modell den Preis einer Call-Option mit Laufzeit $T$ und Strike $0<K<1$ auf eine Unternehmensanleihe mit Nennwert 1 und Fälligkeit in $T_{1}> T$.

  Hinweis: Man mache sich klar, welcher Option im klassischen Black-Scholes-Modell die obige Call-Option entspricht.

• 4. Berechne unter der Annahme, dass im Intensitätsmodell mit Totalausfall sowohl $r(t)$ als auch $\lambda(t)$ jeweils einem CIR-Prozess folgen, den Preis der zugehörigen Unternehmensanleihe.

• 5. Zeige, dass für jede Copula $C(u_{1},\ldots,u_{n})$ die sogenannten Frechet-Schranken

  $$\begin{aligned}\displaystyle\max\left(x_{1}+\ldots+x_{n}-n+1,0\right)&\displaystyle=:W_{n}\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\leq C\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\leq M_{n}\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right):=\min\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right).\end{aligned}$$

  gelten. Sind $W_{n}$ und $M_{n}$ Copulas, und welche Art von Abhängigkeit wird durch sie modelliert?

• 6. Man zeige die Invarianz von Copulas unter streng monotonen Transformationen aus dem 3. Teil von Bemerkung 3.7.

• 7. Zeigen Sie unter den Annahmen eines homogenen Portfolios im 1-Faktor-Gauß-Modell, dass sich die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit eines Kredits gemäß Gleichung (3.74) ergibt.