Zusammenfassung
Wenn auch durch den Riemannschen Abbildungssatz ein Prinzip zur Erzeugung holomorpher Funktionen gegeben ist, indem man nämlich jedem willkürlich geometrisch definierten einfach zusammenhängenden schlichten Gebiet eine Abbildungsfunktion zuordnet, so kann man doch von dieser Abbildungsfunktion über die bloße Existenz hinaus nur wenig aussagen. Wählt man jedoch als Bildbereich des Einheitskreises (oder, was hier bequemer sein wird, der oberen Halbebene) hinreichend einfache geometrische Figuren, nämlich Bereiche, welche geradlinig oder durch Kreisbogen begrenzt sind, so gelangt man zu einer großen Klasse wichtiger spezieller Abbildungsfunktionen, für die man mit Hilfe des Spiegelungsprinzipes eine Reihe charakteristischer Eigenschaften unmittelbar aus der Gestalt dieser Bildbereiche ablesen kann; es wird dann sogar das Vordringen bis zu einem mehr oder minder expliziten Ausdruck für jene Funktionen ermöglicht. Der Untersuchung dieser Funktionenklasse ist das vorliegende Kapitel gewidmet.
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Literatur
Vgl. H. A. Schwarz : Über einige Abbildungsaufgaben. Ges. Math. Abh. Bd. II, S. 65 – 83. Eine interessante Verallgemeinerung der Polygonabbildung wurde von E. Study in seinen „Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände der Geometrie, II“ gegeben. Vergleiche auch V. Paatero : Über die konforme Abbildung von Gebieten, deren Ränder von beschränkter Drehung sind. Ann. Acad. Sci. Fenn. XXXIII, Nr. 9, 1931.
Vgl. die entsprechenden Überlegungen in § 2 (S. 436).
Es sei betont, daß es sich in diesem Kapitel nur um spezielle Fälle der elliptischen Funktionen handelt und daß im allgemeinen Falle eines beliebigen Periodenparallelogramms durch die elliptische Funktion keine konforme Abbildung auf die Halbebene geliefert wird.
Die beiden anderen in der Abbildung schraffierten Bereiche gehen durch je zweimalige Spiegelung aus dem ersteren hervor.
Bde., Leipzig 1897 und 1912. Ebenso sei auf die Originalarbeiten von H. Poincaré und F. Klein (Poincare, Œuvres Bd. 2 ; Klein, Ges. math. Abh. Bd. 3) hingewiesen. Auch in Kap. 9 werden wir uns noch mit diesen Funktionen zu beschäftigen haben.
Von einer ganzen rationalen Funktion wird nach dem Fundamentalsatz der Algebra jeder Wert angenommen.
Bei diesem Beweise werden von der Funktion z (ζ) nur die folgenden Eigenschaften gebraucht :
Es gibt eine von 0, 1, ∞ verschiedene Stelle ζ0, in deren Umgebung z (ζ) eindeutig und holomorph ist.
Beschreibt man von ζ0 aus irgendeinen Weg, der nur die Punkte 0, 1, o∞ vermeidet, so ist z (ζ) längs dieses Weges unbeschränkt fortsetzbar; insbesondere ist also jeder Zweig von z (ζ) in der Umgebung jedes durch Fortsetzung erreichten Punktes holomorph.
Die Werte, die z (ζ) annimmt, liegen in einem Bereiche der z-Ebene, der einen Teil derselben frei läßt.
z (ζ) ist keine Konstante.
Spezialfälle wurden untersucht von v. Koppenfels z. B. in „Konforme Abbildung ausgezeichneter Kreisbogenvierecke“, Sitz. Ber. Bay. Akad. Wiss., 1943.
Hierbei bedeuten α und β beliebige Konstanten (α + 0).
H. A. Schwarz hat in seiner grundlegenden Arbeit „Über diejenigen Fälle, in welchen die Gaußische hypergeometrische Reihe eine algebraische Funktion . . . darstellt“ die Bedeutung dieses Ausdruckes erst zur rechten Geltung gebracht (vgl. H. A. Schwarz : Ges. Math. Abh. Bd. 2, S. 211 ff.).
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Hurwitz, A. (1964). Spezielle Abbildungsfunktionen. In: Courant, R. (eds) Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00750-1_21
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