Zusammenfassung
Die charakteristischste Eigenschaft der Metalle ist ihre elektrische Leitfähigkeit. Um diese zu erklären, wurde bald nach der Entdeckung des Elektrons die Annahme gemacht, daß es in jedem Metall eine gewisse Anzahl frei beweglicher Elektronen gibt, die im thermischen Gleichgewicht mit den Metallatomen stehen. Die Wechselwirkung mit den Atomen war in der Weise gedacht, daß die Elektronen (analog wie in der kinetischen Gastheorie) Zusammenstöße mit den Atomen erleiden. Diese sind charakterisiert durch Angabe der Wegstrecke, die ein Elektron im Mittel zwischen zwei Zusammenstößen zurücklegt, der mittleren freien Weglänge. Mit diesen Annahmen gelingt es auf sehr einfache Weise, das Ohmsche Gesetz und das Wiedemann-Franzsche Gesetz1 abzuleiten2 [26].
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Literatur
Verhältnis von elektrischer Leitfähigkeit zur Wärmeleitfähigkeit ist unabhängig vom Material.
Vgl. § 12.
Alle Abkürzungen, die im Text nicht erklärt sind, werden auf S. VI definiert.
vgl. S. V und VI.
Ψ* ist die zu Ψ konjugiert komplexe Funktion; sie genügt auch der Gleichung (Gl.) (1) wenn man dort i durch — i ersetzt.
Denn irgendwo muß sich das Elektron ja aufhalten.
δ nm = 1 für n = m; δ nm = 0 für n ≠ m.
Wenn das Gebiet, in dem wir die Wellengleichung (1) lösen, endlich ist, muß hinzugefügt werden: ... und die den gleichen Randbedingungen genügt, wie die Eigenfunktionen, ...
Im kontinuierlichen Spektrum ist die Summe durch ein Integral zu ersetzen.
Dieses Ergebnis ist nur dann exakt gültig, wenn die Wellenlänge des Lichtes groß gegen Atomdimensionen ist — also unter Vernachlässigung der Retardierung. Andernfalls ist (math) zu ersetzen durch
(𝔎 = Ausbreitungsvektor der Lichtwelle.)
Z. B. wird man nur einen Gesamtimputs definieren können.
R ist das Volumen des Metalls.
Die Eigenfunktionen sind hier im wesentlichen ebene Wellen.
Im allgemeinen Fall muß man zur Durchführung dieser Entwicklung das reziproke Gitter einführen. Vgl. Anhang 6.
Für nicht kubische Kristalle trifft das nicht zu, doch gelten alle folgenden Überlegungen, wenn man nicht einen Einkristall, sondern ein Gemenge von verschieden orientierten Kristallen nimmt. Das entspricht ganz unserer oben angeführten Beschränkung auf Probleme, die nicht von der Richtung der Beschleunigung zu den Kristallachsen abhängen.
Für freie Elektronen ist die Einteilung in Bänder ganz belanglos und rein formal.
D. h. E n ist ein s-Term. Die Ladungsverteilung ist in diesem Fall kugelsymmetrisch um den Kern, der Drehimpuls ist Null.
Eine ausführlichere Besprechung der Austauschkräfte wird in § 24 gegeben.
Da man 3 Eigenfunktionen hat, sollte man das Auftreten von 6 Austauschintegralen erwarten. Von diesen verschwinden aber 3 und 2 sind einander gleich.
Entsprechend den G 3 Werten von 𝔨.
Bei s-Termen [Gl. (7)] ist immer A n < 0.
𝔎 kann nur die durch (16 c) zugelassenen Werte annehmen.
Die Bedeutung von Gl. (18) besprechen wir auf S. 42 ff.
Im Fall eines nichtkubischen Gitters sind in (21) die Vektoren (math) durch Gittervektoren in reziprokem Gitter zu ersetzen.
Man vergleiche die Ergebnisse der Näherung tiefer Energien (S. 35), wo |m*| > m ist.
Das ist natürlich nur dann richtig, wenn die Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterschwingungen vernachlässigt wird (§13).
Für nichtkubische Gitter läßt sich im reziproken Gitter eine ganz ähnliche Konstruktion angeben.
Wir werden in § 23 ausführlicher auf die Berechnung der Eigenfunktionen und der Energie zu sprechen kommen.
Diese muß kleiner als Null sein, damit die Elektronen an das Metall gebunden sind.
Oder der obersten Bänder, falls sich die Bänder überdecken.
Könnten wir diese Vernachlässigung nicht machen, so wären die Energieniveaus selbst temperaturabhängig.
In der klassischen Physik dagegen bezeichnet man zwei Zustände des Gesamtsystems als verschieden, die durch Vertauschung zweier Elektronen, die in verschiedenen Zuständen sitzen, hervorgehen.
Diese allgemeine Form der Verteilungsfunktion f ist vollständig unabhängig davon, welches spezielle Elektronenproblem betrachtet wird. Dieses ist durch die Eigenwertdichte D charakterisiert.
Die Indizes U und N bedeuten Ausführung der Differentiation bei konstantem U bzw. N.
Da das Eigenwertspektrum innerhalb eines Bandes praktisch kontinuierlich ist und da volle Bänder keinen Beitrag zu N F liefern, ist diese Überführung in ein Integral korrekt.
Wenn wir uns für die Abhängigkeit der Beschleunigung von ihrem Winkel zu den Kristallachsen interessieren, können wir nicht mit der Freiheitszahl operieren, sondern müssen den entsprechenden Tensor wählen (vgl. S. 24). In diesem Falle wird auch N F ein Tensor.
Allgemeiner wäre der Ansatz
Er gibt aber nur dann wesentlich Verschiedenes von unserem Ansatz, wenn es uns auf die Richtung der Geschwindigkeit innerhalb eines Einkristalls ankommt.
n F und n beziehen sich auf die Volumeneinheit.
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Fröhlich, H. (1936). Allgemeine Grundlagen. In: Elektronentheorie der Metalle. Struktur und Eigenschaften der Materie. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-38366-7_2
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