Potenzreihen

Zusammenfassung

Die Glieder der Reihen, die wir bisher betrachtet haben, waren im allgemeinen wohlbestimmte Zahlen. Man spricht daher wohl schärfer von Reihen mit konstanten Gliedern. Indessen war das doch nicht durchweg der Fall. Bei der geometrischen Reihe Σa ⁿ z. B. sind die Glieder erst dann bestimmte Zahlen, wenn der Wert der Größe a gegeben wird. Die Konvergenzuntersuchung dieser Reihe endete daher auch nicht einfach mit der Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz, sondern ihr Ergebnis lautete: Σa ⁿ ist konvergent, falls | a | < 1 ist, dagegen divergent, falls | a | ≧ 1 ist. Die Entscheidung der Konvergenzfrage hängt also, wie die Reihenglieder selbst, von dem Wert einer noch nicht festgelegten Größe, einer Veränderlichen ab. Reihen, deren Glieder und bei denen somit das Konvergenzverhalten noch von einer veränderlichen Größe abhängt — wir werden eine solche dann meist mit x bezeichnen und von Reihen mit veränderlichen Gliedern sprechen¹) —, werden wir später genauer untersuchen. Für den Augenblick wollen wir, im Anschluß an die geometrische Reihe, nur solche Reihen dieser Art betrachten, deren allgemeines Glied nicht eine Zahl a _n ist, sondern die Gestalt

$${a_n}{x^n}$$

hat, also Reihen der Form

$${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \cdots {a_n}{x^n} + \cdots \equiv \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}{\cdot ^2})} $$

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