Universelle Konstruktionen

Zusammenfassung

Im ersten Kapitel wurde die Kategorie topologischer Räume und stetiger Abbildungen vorgestellt. In diesem Kapitel sollen Konstruktionen beschrieben werden, die es erlauben, neue topologische Räume zu konstruieren. Dabei stellt sich heraus, dass es gar nicht so wichtig ist, die Punkte und offenen Mengen der neuen Räume genau zu kennen. Viel wichtiger ist es zu verstehen, wie die neuen Räume mit den alten in Verbindung stehen, also welche stetigen Abbildungen es in die neuen Räume hinein oder aus ihnen heraus gibt. Das wird in jedem Falle durch die sogenannte universelle Eigenschaft der neuen Räume beschrieben. Erfahrungsgemäß fällt es den Lernenden schwer, sich gedanklich von den konkreten Punkten und offenen Mengen zu lösen und stattdessen mit den universellen Eigenschaften zu arbeiten. Letzteres ist aber in der Topologie (und übrigens auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik) unerlässlich und muss deswegen so früh es geht eingeübt werden.