Numerik

Zusammenfassung

Der Numerik geht es um die Näherung und Berechnung mathematischer Größen. War man bei der Umsetzung von Rechenverfahren bis zum 20. Jahrhundert auf Papier und Bleistift oder mechanische Rechenmaschinen angewiesen, so eröffnete die Erfindung des Computers neue Möglichkeiten. Der technischen Neuerung folgte ein systematischer Aufbau der Theorie zur Genauigkeit und Stabilität von numerischen Algorithmen. Diese Entwicklung findet ihren Widerhall auch in den folgenden zwölf Abschnitten.

Zu Beginn diskutieren wir drei grundlegende Begriffe der Numerik: die Kondition eines mathematischen Problems (Abschn. 10.1), die Gleitkommazahlen (Abschn. 10.2) und die Stabilität eines numerischen Verfahrens (Abschn. 10.3). Insbesondere die Kondition und die Stabilität gehören zum theoretischen Werkzeug, mit dem die erreichte Genauigkeit einer numerischen Simulation abgeschätzt werden kann. Die nächste inhaltliche Einheit bilden die drei großen Themen der numerischen linearen Algebra: lineare Gleichungssysteme (Abschn. 10.4), Least-Squares-Probleme (Abschn. 10.5) und Eigenwerte linearer Abbildungen (Abschn. 10.6). Für die linearen Gleichungssysteme wird das Gauß’sche Eliminationsverfahren diskutiert. Das Least-Squares-Problem wird mit einer QR-Zerlegung der Systemmatrix gelöst. Als exemplarischer Eigenwertlöser wird die Vektoriteration vorgestellt.