Zusammenfassung
Wenn man konventionelle Integrationen verwendete, würden die Formeln unübersichtlich und die Berechnungen umständlich. Mit den hier eingeführten Integraloperatoren lassen sich Formeln übersichtlich gestalten und Berechnungen leicht durchführen.
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Notes
- 1.
Der Differentialoperator \(\partial_{z}\) ist invertierbar, weil nur Funktionen zugelassen sind, die oberhalb der freien Oberfläche verschwinden, wodurch die Integrationskonstante festgelegt ist.
- 2.
„Fast ganz“ bedeutet „ganz, bis auf endliche Teilbereiche“.
- 3.
Das bedeutet, dass diese Operationen wieder auf zulässige Funktionen und Distributionen führen.
- 4.
Alle genannten Operatoren sind untereinander vertauschbar.
- 5.
In der Praxis kann man mit noch kleineren Funktionsklassen auskommen, indem man beispielsweise nicht von allen glatten Funktionen ausgeht, sondern nur von allen Polynomen.
- 6.
S. das Beispiel in Abschn. 3.1.
- 7.
Diese Klasse zulässiger Funktionen und Distributionen wird als minimal bezeichnet, da jede andere Klasse gemäß den oben unter den Ziffern 3 und 5 genannten Eigenschaften diese minimale Klasse enthält.
- 8.
Hinzu kommen die Fälle, welche sich durch Umbenennung der Ortskoordinaten ergeben.
- 9.
Der Begriff „konvexer Kegel“ bezeichnet ein geometrisches Gebilde mit definierter Form und Orientierung. Dieser Begriff wird sowohl konkret verwendet zur Bezeichnung eines solchen Gebildes an einer bestimmten Position im Raum, welche durch die Position der Kegelspitze festgelegt ist, als auch abstrakt ohne Berücksichtigung seiner Position.
- 10.
Die Spitze dieses Kegels liegt in diesem Punkt.
- 11.
Im Folgenden wird auch der Integraloperator \((-\mathbf{a}\nabla)^{-1}\) durch \(-(\mathbf{a}\nabla)^{-1}\) definiert. Somit ist ein Integraloperator \((\mathbf{b}\nabla)^{-1}\) erst dann definiert, wenn sein eindimensionaler Integrationskegel festgelegt ist und damit feststeht, welcher der beiden Vektoren \(\mathbf{b}\) oder \(-\mathbf{b}\) ein Kegelvektor ist.
- 12.
Diese Gewichtsfunktion \(G(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r})\) (3.20) auf dem Integrationskegel mit Spitze im Punkt \(\mathbf{r}\) ist eine Funktion der Kegelvektoren \(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\), die von der Spitze im Punkt \(\mathbf{r}\) zu den übrigen Punkten \(\mathbf{r}^{\prime}\) des Kegels führen. Diese Funktion ist auch für Punkte \(\mathbf{r}^{\prime}\) außerhalb des Kegels definiert, wo sie zusammen mit der Sprungfunktion in ihrem Zähler verschwindet, weshalb sich die Integration (3.19) formal über den ganzen Raum erstreckt.
- 13.
Diese für die Existenz von Modellen mit den Eigenschaften 1 bis 5 in Abschn. 3.1 hinreichende Bedingung ist vermutlich auch notwendig, was jedoch nicht weiter untersucht wird. Sie trifft für jedes Modell in dieser Abhandlung zu (jedoch nicht gleichzeitig für alle Modelle).
- 14.
Das bedeutet, dass jeweils der ganze Integrationskegel in dem Halbraum liegt, wenn seine Spitze darin liegt und dass sich der Kegel in den Halbraum hinein erstreckt, wenn seine Spitze nicht in dem Halbraum liegt.
- 15.
S. Abschn. 3.1.
- 16.
Das sind die in Abschn. 3.1 unter den Nummern 1 bis 5 genannten Eigenschaften.
- 17.
- 18.
Alle auftretenden Kegel sind konvex. Ein erzeugter konvexer Kegel ist der kleinste konvexe Kegel, der alle erzeugenden konvexen Kegel enthält. Seine Kegelvektoren bestehen aus allen Linearkombinationen von Kegelvektoren der erzeugenden Kegel mit nicht negativen Koeffizienten. Die Kegelvektoren eines konvexen Kegels sind die Vektoren, welche von der Kegelspitze zu den Kegelpunkten führen.
- 19.
S. Fußnote 11.
- 20.
- 21.
S. Abschn. 3.1.
- 22.
S. Fußnote 18.
- 23.
S. die Bedingung in Abschn. 3.2.
- 24.
- 25.
Die Funktionen und ihre ersten Ableitungen verschwinden auf der Randfläche \(\Upsigma\).
- 26.
S. Abschn. 3.2.
- 27.
Die Bedingung in Abschn. 3.2, dass es eine orientierte Ebene gibt, so dass gilt, dass diese Ebene und jeder Integrationskegel des Modells jeweils quer und synchron zueinander sind, ist erfüllt. Denn jede Tangentialebene der Randfläche \(\Upsigma\) stellt eine solche Ebene dar. Deshalb ist das minimale Modell verfügbar, welches in Abschn. 3.1 charakterisiert wird.
- 28.
Das sind alle Modellkegel mit Spitze in \(\Upomega\).
- 29.
Im minimalen Modell könnte man als Definitionsbereich den ganzen Raum nehmen. Jedoch wird der Definitionsbereich \(\Upomega_{\text{def}}\) hier enger gefasst, da es aufgrund der Problemstellung nur auf diesen engeren Definitionsbereich ankommt.
- 30.
Wegen dieser Stetigkeit von \(\mathbf{f}\) und ihrer ersten Ableitungen auf \(\Upsigma\) können die zweiten Ableitungen zwar unstetig sein, haben jedoch auf \(\Upsigma\) keine deltafunktionsartigen Anteile.
- 31.
Dieses Lösungsverfahren wird in Abschn. 8.2 und in Abschn. 17.1–17.8 verwendet. Es handelt sich hier nicht um eine allgemeine Abhandlung über Randwertprobleme von Matrix-Differentialgleichungen, sondern nur die Matrix-Differentialgleichungen werden untersucht und gelöst, welche in dieser Abhandlung auftreten.
- 32.
\(\mathcal{L}_{\text{adj}}\) und \(\mathrm{det}(\mathcal{L})\) sind eindeutig definiert, da alle Differentialoperatoren miteinander kommutieren. Es werden nur solche Operatoren \(\mathcal{L}\) auftreten, deren Determinante \(\mathrm{det}(\mathcal{L})\) ein Produkt invertierbarer Differentialoperatoren ist. Alle Ausdrücke sind wohldefiniert, da alle Differentialoperatoren und alle auftretenden invertierten Differentialoperatoren – das sind die auftretenden Integraloperatoren – miteinander kommutieren.
- 33.
Das gilt insbesonders, wenn man sich vom Gletscherbereich her der freien Oberfläche \(\Upsigma\) nähert, denn jenseits der freien Oberfläche verschwinden ohnehin alle zulässigen Funktionen.
- 34.
Die Ordnung der Nullstelle wird deshalb höchstens um eins erniedrigt, weil die Differentiation nicht nur quer, sondern auch parallel zu Randfläche \(\Upsigma\) erfolgen kann, was in der Regel keine Erniedrigung der Nullstellenordnung zur Folge hat. Dagegen führen die Integraloperatoren immer zur Erhöhung der Nullstellenordnung, da die Integrationskegel immer quer zur Randfläche \(\Upsigma\) liegen.
- 35.
- 36.
Ein Produkt von Operatoren bedeutet, dass diese Operatoren nacheinander anzuwenden sind, wobei es hier auf die Reihenfolge nicht ankommt, da alle Operatoren miteinander kommutieren.
- 37.
Im Folgenden werden die hier zulässigen gewöhnlichen Funktionen – also die glatten Funktionen – auch als Distributionen bezeichnet, so dass die Klasse aller zulässigen Distributionen eine Erweiterung der Klasse zulässiger gewöhnlicher Funktionen ist.
- 38.
S. Abschn. 3.2.
- 39.
Der Definitionsbereich soll eine offene Menge sein. Diese Anforderung hat mathematische Gründe und ist für die praktischen Rechnungen von geringer Bedeutung.
- 40.
Dieser äußere Teilbereich soll auch eine offene Menge sein.
- 41.
S. die Definition von „quer und synchron“ unter Ziff. 1, Abschn. 3.4.1.
- 42.
S. die Verträglichkeitsdefinition unter Ziff. 2, Abschn. 3.4.1.
- 43.
Der Träger \(\text{supp}(\tau)\) einer Testfunktionen τ ist die Menge aller Punkte, in denen τ nicht verschwindet, erweitert um ihre Häufungspunkte. Kompakt bedeutet, dass der Träger räumlich beschränkt ist.
- 44.
S. Abschn. 3.2.
- 45.
Der Träger einer Funktion τ, welche durch assoziierte Integration aus einem Integranden mit kompaktem Träger erzeugt wird, liegt in dem Bereich, der vom kompakten Träger des Integranden durch die Modellkegel bestrahlt wird, der also von allen Strahlen der Modellkegel überdeckt wird, welche von allen Punkten des kompakten Trägers ausgehen. Der unendlich lange Schwanz dieses bestrahlten Bereiches erstreckt sich in den externen Bereich \(\Upomega_{\text{ext}}\) hinein, wo alle Distributionen verschwinden. Daher kann diese Funktion τ bei allen Tests durch eine Ersatzfunktion mit räumlich beschränktem Träger vertreten werden, die sich von der ursprünglichen Funktion τ nur im externen Bereich \(\Upomega_{\text{ext}}\) unterscheidet, wo die Distributionen verschwinden.
- 46.
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Halfar, P. (2016). Integraloperatoren. In: Spannungen in Gletschern. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48022-9_3
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