Zusammenfassung
Anders als vorher rücken in diesem Kapitel Aussagen zum globalen Verhalten holomorpher Funktionen in den Mittelpunkt – ein in der Analysis eher untypischer Sachverhalt.
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Notes
- 1.
Man beachte dabei, dass für geschlossene Pfade Anfangs- und Endpunkt nicht eindeutig sind – was durchaus natürlich ist.
- 2.
Allgemeiner heißen zwei Zyklen γ und \(\widetilde {\gamma }\) homolog in Ω, falls der Zyklus \((\gamma , \tilde {\gamma }_-)\) nullhomolog in Ω ist.
- 3.
Mit der in Abschn. 1.6 eingeführten Notation kann man die rechte Seite alternativ auch als \(\sum\limits _{w \in \mathrm {Int}(\gamma )} \mathrm {ind}_\gamma (w) \cdot \mathrm {res}_f (w)\) oder auch als \(\sum\limits _{w \in \varOmega \setminus \gamma ^*} \mathrm {ind}_\gamma (w) \cdot \mathrm {res}_f (w)\) schreiben.
- 4.
Der Beweis zum Residuensatz zeigt, dass diese einfache Version ohne das Cauchytheorem auskommt.
- 5.
- 6.
Die Funktion ω↦πe −|ω| ist die Fourier-Transformierte der Funktion t↦1/(1 + t 2) und damit bis auf Normierung die charakteristische Funktion der Cauchy-Verteilung. Mehr zu diesem Thema findet man in der Literatur zur Fourier-Analysis und zur Statistik.
- 7.
Man kann den Satz von Rouché auch für allgemeinere Zyklen formulieren. Für unsere Zwecke reicht die einfache Version, die auch ohne das Cauchytheorem bewiesen werden kann.
- 8.
Genaueres zum Dirichlet-Problem und zu harmonischen Funktionen, weitere interessante Eigenschaften des Poisson-Kerns im Zusammenhang mit partiellen Differenzialgleichungen sowie eine Interpretation als Abel-Summationskern findet man etwa in [6].
Literatur
Bornemann, F.: Funktionentheorie, 2. Aufl. Birkhäuser, Basel (2016)
Conway, J.B.: Functions of One Complex Variable. 2. Aufl. Springer, New York (1978)
Gamelin, T.W.: Complex Analysis. Springer, New York/Berlin (2001)
Lax, P.D., Zalcman, L.: Complex Proofs of Real Theorems. American Mathematical Society, Providence (2012)
Remmert, R.: Funktionentheorie I. Springer, Berlin (1984)
Stein, E.M., Shakarchi, R.: Fourier analysis. An introduction. Princeton Lectures in Analysis, Bd. 1. Princeton University Press, Princeton (2003)
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Müller, J. (2018). Wunderwelten: Globale Funktionentheorie. In: Konzepte der Funktionentheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56260-4_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-56260-4_5
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-56259-8
Online ISBN: 978-3-662-56260-4
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