Komplexe Zahlen und Euler-Formel

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, dass die Exponentialreihe eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit der Sinus- und Cosinusreihe aufweist. Tatsächlich besteht zwischen diesen – auf den ersten Blick und im Reellen – grundverschiedenen Funktionen eine enge Verwandtschaft, die jedoch erst im Rahmen der komplexen Zahlen sichtbar wird. Sie drückt sich in der so genannten Euler-Formel aus. Da diese Formel es insbesondere erlaubt, Schwingungsvorgänge statt mit Sinus oder Cosinus über eine Exponentialfunktion auszudrücken, besitzt sie auch für Anwendungen in Natur- und Ingenieurwissenschaften eine große Bedeutung.

Übungsaufgaben

A8.1

Für reelle Zahlen $x$ gilt $x^{2}\geq 0$. Stimmt das auch für komplexe Zahlen? Oder ist für komplexe Zahlen $z$ die folgende Aussage richtig: Es ist entweder $z^{2}<0$ oder $z^{2}=0$ oder $z^{2}> 0$?

A8.2

Gib für die folgenden komplexen Zahlen jeweils Real- und Imaginärteil an, schreibe sie also in der Form $z=x+\mathrm{i}y$ mit $x,y\in\mathbb{R}$:

$$z_{1} =\frac{1}{\mathrm{i}},\qquad z_{2}=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}},\qquad z_{3}=\frac{1-2\mathrm{i}}{\mathrm{i}},\qquad z_{4}=\mathrm{i}^{4},$$

$$z_{5} =\frac{2+3\mathrm{i}}{-1-\mathrm{i}},\qquad z_{6}=6\mathrm{i}^{4}+3\mathrm{i}^{3}+4\mathrm{i}^{2}-\mathrm{i}+1,\qquad z_{7}=\mathrm{i}^{17}+\mathrm{i}^{18}+\mathrm{i}^{19}+\mathrm{i}^{20},$$

$$z_{8} =\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}+\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}.$$

A8.3

Zeige folgenden Satz: Für $a\in\mathbb{R}$ hat die Gleichung

$$z^{2}+2az+1=0$$

genau dann keine reellen Lösungen, wenn gilt $|a|<1$. Und in diesem Fall besitzt die Gleichung zwei konjugiert komplexe Lösungen mit dem Betrag $1$.

A8.4

Ermittle jeweils die Lösungen der folgenden Gleichungen:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle(1)&\displaystyle&\displaystyle(1+2\mathrm{i})(z-\mathrm{i})+(4\mathrm{i}-3)(1-\mathrm{i}z)+1+7\mathrm{i}=0\\ \displaystyle&\displaystyle(2)&\displaystyle&\displaystyle z^{2}+\overline{z}=0\\ \displaystyle&\displaystyle(3)&\displaystyle&\displaystyle z^{2}+2|z|=0\\ \displaystyle&\displaystyle(4)&\displaystyle&\displaystyle|z+1|=1\\ \displaystyle&\displaystyle(5)&\displaystyle&\displaystyle\Bigg|\begin{aligned}\displaystyle z_{1}+2z_{2}&\displaystyle=1+\mathrm{i}\\ \displaystyle 3z_{1}+\mathrm{i}z_{2}&\displaystyle=2-3\mathrm{i}\end{aligned}\Bigg|.\end{aligned}$$

A8.5

Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begründe jeweils die Antwort.

• (I) Bei den reellen Zahlen handelt es sich um eine Teilmenge der komplexen Zahlen.

• (II) Für komplexe Zahlen ist die Bedingung $\overline{z}=z$ gleichbedeutend mit $z\in\mathbb{R}$.

• (III) Der Kehrwert einer rein-imaginären Zahl ist stets wieder eine rein-imaginäre Zahl.

• (IV) Ein Polynom $n$-ten Grads besitzt über $\mathbb{C}$ stets genau $n$ voneinander verschiedene Nullstellen.

• (V) Es gilt $\sqrt{\mathrm{i}}=(1+\mathrm{i})/\sqrt{2}$.

• (VI) Die komplexe Exponentialfunktion $\exp:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$, $z\mapsto\mathrm{e}^{z}$, besitzt keine Nullstellen.

• (VII) Die komplexe Exponentialfunktion $\exp:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$, $z\mapsto\mathrm{e}^{z}$, besitzt keine reellen Funktionswerte.

• (VIII) Für komplexe Zahlen $z=x+\mathrm{i}y$ mit $x,y\in\mathbb{R}$ gilt $\mathrm{Re}(\mathrm{e}^{z})=\mathrm{e}^{x}\cos y$.

A8.6

Berechne die folgenden Ausdrücke:

$$z_{1}=\left(\frac{\mathrm{i}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{12},\qquad z_{2}=\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)^{100},\qquad z_{3}=\frac{(1+\mathrm{i})^{2n+1}}{(1-\mathrm{i})^{2n-1}}\quad(n\in\mathbb{N}).$$

A8.7

Gib jeweils sämtliche Lösungen der folgenden Gleichungen an:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle(1)&\displaystyle&\displaystyle z^{3}=-1\\ \displaystyle&\displaystyle(2)&\displaystyle&\displaystyle z^{3}=8\mathrm{i}\\ \displaystyle&\displaystyle(3)&\displaystyle&\displaystyle z^{6}+64=0.\end{aligned}$$