Integralsätze

Zusammenfassung

Nach dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist für eine R-integrierbare Ableitung F’ stets

$$\int\limits_a^b {F'} dx = F(b) - F(a)$$

Man kann also, locker formuliert, das Integral von F’ durch Randwerte von F ausdrükken. Im vorliegenden Kapitel geht es darum, diesen Sachverhalt in angemessener Weise auf höhere Dimensionen zu übertragen. Wir werden zu diesem Zweck zunächst in den Nummern 207 bis 210 die klassischen Integralsätze von Gauß und Stokes behandeln und dann in den Nummern 211 bis 217 mit Hilfe der Theorie der Differentialformen sehen, daß diese Sätze und der erste Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aus ein und derselben Quelle fließen. Diese Quelle ist der allgemeine Stokessche Satz 216.2. Er lehrt, wiederum sehr locker gesagt, daß man das Integral über die Ableitung (genauer: über das äußere Differential) einer Differentialform ω durch ein Integral über die Randwerte von ω ausdrücken kann. Dieser Stokessche Satz erweist sich als die „angemessene Übertragung“ des ersten Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung auf höhere Dimensionen, von der wir eingangs gesprochen haben.

[Bisweilen hat man die Empfindung], als wohne den mathematischen Formeln selbständiges Leben und eigener Verstand inne, als seien dieselben klüger als wir, klüger sogar als ihre Erfinder, als gäben sie uns mehr heraus, als seinerzeit in sie hineingelegt wurde.

Heinrich Hertz