Zusammenfassung
Der betriebliche Produktionsprozeß zerfällt in Teilprozesse, die sich in verschiedenen Organisationseinheiten, allgemein Kostenstellen genannt, vollziehen. Jede Kostenstelle erzeugt materielle oder immaterielle Güter, kurz Leistungen, die entweder an den Markt abgegeben — Absatz- oder Endleistungen — oder im Betrieb selbst verbraucht werden — innerbetriebliche Leistungen. In einer Reihe von Kostenstellen, den Haupt- und Nebenkostenstellen, wird unmittelbar an der Erstellung der Absatzleistung gearbeitet ( am Haupt- oder Nebenprodukt). Andere Kostenstellen sind nur mittelbar an der Erstellung von Absatzleistungen beteiligt. Letztere heißen Hilfs- oder Allgemeine Kostenstellen, je nachdem, ob sie ihre (innerbetrieblichen) Leistungen für einen bestimmten Teilbereich, z. B. für den Fertigungsbereich, oder für den Gesamtbetrieb erbringen. Die Allgemeinen Kostenstellen und die Hilfskostenstellen beliefern mit ihren Leistungen andere Hills- und/oder Allgemeine Kostenstellen sowie Haupt- und Nebenkostenstellen. Auch die zuletzt genannten Kostenstellen können einen Teil ihrer Leistungen an eine oder mehrere andere Haupt-, Neben-, Hilfs- oder Allgemeine Kostenstellen abgeben. Schließlich werden oft auch Leistungen zum Teil von den erzeugenden Kostenstellen selbst verbraucht.
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Literatur
Vgl. zum Begriffspaar “primäre - sekundäre Kosten” Schneider, LV 54, S. 40 ff.
Vgl. zur Ermittlung von Schlüsseln z. B. Schönfeld, LV 55, S. 51 und S. 59 ff. ; Kosiol, LV 30, S. 177 ff.
Vgl. zum Begriff “Inputorientiert” den Exkurs III “Input- und outputorienuerte Modelltypen” S. 159 ff.
Wie aus Tabelle 2 unmittelbar hervorgeht, ist bei der direkten çostenverrecnnung die Anwendung der Matrizenrechnung nicht notwendig.
Eine derartige Anordnung der Kostenstellen ist bei entsprechender roduKtionsstruktur (z. B. bei Montagebetrieben) stets möglich (vgl. auch Kap. 2. 5. ).
Vgl. zum “inputorientierten” Teil dieser Gleichung “aT.U- die Ausfunrungen im Exkurs III, S. 160 ff. iJ
Val. zur Verflechtungsmatrix auch die Ausführungen am b. 4.
Vgl. hierzu auch: Angermann, LV 5; Kosiol, LV 30; Rosenblatt, LV 53; Woodbury, LV 71; Pfanzagl, LV 44; und die dort angegebene Literatur.
Siehe auch die Ausführungen S. 167 f.
Wird das Gleichungssystem g’ (E-A)=p’ ohne explizite Berechnung der Kehrmatrix gelöst, vgl. z. B. Mrinster—m anr (LV 41, S. 208) und Angermann (LV 5, S. 41 und S. 43 f. ), sind Kostenanalysen dieser und ähnlicher Art natürlich nicht möglich.
Hierzu bringt Schneider (LV 54, S. 48, Fall III) ein sehr anschauliches Beispiel. Siehe auch Fall V, S. 51 ff.
Bereits im Jahre 1925 hat der Bergingenieur Alfred Kwiecinski “Regeln für die Berechnung der Selbstkosten der Teile eines Wirtschaftskörpers abgeleitet, falls diese Teile sich nicht in Hintereinanderschaltung, sondern gegenseitig (im Eigentausch) beliefern”. Vgl Kwiecingki TV 4 q 991–99A
Vgl. hierzu und zum Folgenden die Ausführungen auf S. 80 ff.
Eine Rundung auf 5 Stellen nach dem Komma liefert im allgemeinen für praktische Zwecke ausreichend genaue Ergebnisse.
Die Elemente der Produktmatrix sind mit geringen Rundungsfehlern behaftet
Vgl. Exkurs II, S.123 ff.
Mengeneinheiten sind z. B. Reparaturstunden, kWh, Stück, kg etc. Für bestimmte Kostenarten, beispielsweise für Abschreibungen gilt ME = GE. In einigen Fällen müssen hier auch fiktive Leistungsarten eingeführt werden.
Durch die wiederholte Matrizenmultiplikation sind kleinere Rundungsfehler entstanden.
Wie Kloock (LV 28, S. 95 ff. ) nachweist, dient diese Einschränkung nur der Vereinfachung.
Vgl. hierzu auch Kloock (LV 28, S. 42 ff. ) und Vogel (LV 66, S. 24 ff. ).
In der Praxis werden Kostenstellen meist nach räumlichen Kriterien oder nach Verantwortungsbereichen gebildet.
Als Synonyme werden in der Literatur auch die Bezeichnungen Schachbrettbilanz und Strukturbilanz verwendet.
Weil Inputfaktoren in Outputgrößen transformiert werden, sind derartige Funktionen in der Literatur auch unter der Bezeichnung Transformationsfunktion bekannt.
Die reziproken Werte der technischen Koeffizienten: 1/a = R/a. können als spezifische Produktivitätskennzahlen interpretiert werden.
Vgl. aber Kap. 2. 4.
Durch die Einführung von Verbrauchsfunktionen in die vergangenheitsorientierten Daten der Berichtsverflechtungsbilanz wird gewissermaßen der Übergang von der situationsbeschreibenden Tabelle zum planorientierten Modell vollzogen.
Weil die Zeilen und Spalten von (E A+) nach Organisationseinheiten (i, J = 1, 2, 3) gegliedert sind, ist (E - A) quadratisch und damit eine notwendige aber nicht hinreichende Bedingung für ihre Invertierbarkeit erfüllt. Hat ein Betrieb eine Vielzahl von Organisationseinheiten, ist es zweckmäßig, die Koeffizientenmatrix als Übermatrix aufzustellen. Da nicht alle Organisationseinheiten größerer Systeme durch wechselseitige Leistungsaustausche miteinander verknüpft sind, hat die Koeffizientenmatrix im allgemeinen eine große Zahl von Nullelementen. Durch eine geschickte Aufteilung der Verflechtungsmatrix in Untermatrizen ist es in der Regel erreichbar, daß eine Reihe von Untermatrizen Nullmatrizen sind. Es ist möglich, für bestimmte Berechnungen nur eine Auswahl von Untermatrizen (kleineren Typs) heranzuziehen, was insbesondere dann von Vorteil ist, wenn die Organisationseinheiten nach bestimmten Kriterien zu Gruppen gleichartiger oder räumlich zusammengehöriger zusammengefaßt werden können, denen jeweils bestimmte Untermatrizen zuzuordnen sind (vgl. zum Beispiel die Aufgliederung eines Kostenbereichs in Allgemeine, Hilfs-, Haupt- und Nebenkostenstellen). Die Vorteile einer Aufspaltung der Koeffizientenmatrix in Untermatrizen im Hinblick auf die Inversion wurden schon oben erwähnt. Ein Beispiel mit vier Untermatrizen findet sich bei Vogel. LV 65.
Es wurde schon mehrfach erwähnt, daß die Ist-Werte der Berichtsverflechtungsbilanz, die Grundlage der Koeffizientenberechnung sind, fehlerbehaftet sein können. Unter anderem ist es auch dieser Tatbestand, der dazu führt, daß Berechnungsergebnisse nur als “Richtwerten interpretierbar sind. Nachteilig ist bei einer solchen Interpretation, daß keine Grenzen für die Richtwerte bekannt sind. Eine neue Methode zur Bestimmung von Fehlergrenzen, die jedoch noch einige Mängel aufweist, wird von Niedereichholz (LV 43, S. 431 f. ) beschrieben. Niedereichholz bestimmt für die einzelnen Elemente der verwendeten Matrizen und Vektoren Intervalle mit einem oberen und einem unteren Grenzwert. Nach den Regeln einer Intervallrechnung für Matrizen lassen sich auch die Berechnungsergebnisse in Form von Intervallen angeben.
Vgl. Exkurs III, S. 159 ff.
Als Grundlage einer Planverflechtungsbilanz kann sowohl A als auch (E - A ) verwendet werden. Im ersten Falle werden Eigenverbrauche und Leistungs-abgaben positiv ausgewiesen (Zeilensummen = Vorleistungen = a), im zweiten Falle haben die Leistungsabgaben negative Vorzeichen und in derHauptdiagonalen erscheint nur die Gütermenge, die nach Abzug des Eigenverbrauchs zur Abgabe an inner- und außerbetriebliche Stellen zur Verfügung steht (Zeilensummen = Restmenge, die nach außen abgegeben werden kann = s).
Das im folgenden skizzierte Optimierungsverfahren, das an das obige Beispiel anknüpft, kann ohne weiteres auch auf Betriebe mit einer Vielzahl von Organisationseinheiten (bzw. Produkte) übertragen werden.
Als Bewertungsfaktoren können auch die Deckungsbeiträge je Mengeneinheit und Güterart angesetzt werden.
Die Erweiterung der Zielfunktion hat nur rechentechnische Gründe. Sie kann bei der Interpretation der Ergebnisse vernachlässigt werden.
Die vollen technischen Koeffizienten sind die Elemente der Matrix (E - ) ; vgl. S. 119.
Durch die Kontrollrechnung: (E - A )r = s kann leicht bestätigt werden, daß mit r ’ = [400 180 572] ME die optimale Absatzmengenkombination s ’ = [244,2 0 218,8] ME erzielt wird. Aus der Beziehung R3 = 684 - 0, 28 R1 wurden bereits auf S. 112 (vgl. Beispiel (I) ) die Absatzmengen ermittelt, die bei bestimmten Absatzpreisen den wertmäßigen Umsatz maximieren. Die Gewißheit, daß von den verschiedenen Realisationsmöglichkeiten gerade diese Absatzmengenkombination optimal ist, war angesichts der großen Zahl möglicher Varianten jedoch nur durch die Lösung einer linearen Programmierungsaufgabe zu erlangen.
Die Beziehung r = (E - A+)- is wird in der Literatur auch als gesamtbetriebliche Leontief- Produktionsfunktionbezeichnet.
Vgl. hierzu auch Pfanzagl (LV 44, S. 5 f. ) und Skala (LV 58, S. 83 f. ).
Siehe auch die Ausführungen auf S. 167 f.
Die Inversion wurde nach dem auf S. 36 ff. angegebenen Verfahren durchgeführt.
Vgl. hierzu und zum folgenden auch Faddejew-Faddejewa (LV 16, S. 215 f. ), Dück (LV 15, S. 130 ff. und LV 13, S. 127 ff. ), Sherman-Morrison (LV 57, S. 124 ff. ) und Baranow (LV 7. S. 234 ff )
Den folgenden Beispielen werden die Koeffizientenmatrizen des Grundmodells (Kap. 2. 2. ) zugrunde gelegt.
Zur Bestimmung der Dyade xy’ und der Vektoren x und y’ ist es oft zweckmäßig, von den Elementen der korrigierten Matrix- (K -y’) auszugehen.
Klingst (LV 27, S. 1046 f. und LV 26, S. 110 f. ) verwendet Formel (II), um ein Inversionsverfahren zu entwickeln, nach welchem eine Inverse iterativ berechnet wird, wobei nach den einzelnen Schritten die Genauigkeit der Zwischenlösung überprüft und Korrekturmöglichkeiten vorgesehen werden können
Bemerkenswert an diesen Formeln ist vor allem, daß in den Korrekturgliedern die Ausgangsmatrix nicht mehr vorkommt. sondern lediglich ihre Tnverse
Vgl. hierzu die Methode des Ränderns zur Inversion von Matrizen (Faddejew-Faddejewa, LV 16, S. 203 ff. ).
Es wurde wieder auf fünf Stellen nach dem Komma gerundet.
Die Faktormatrix hat stets so viele Spalten wie Organisationseinheiten vorhanden sind. Die Anzahl ihrer Zeilen bzw. die Anzahl der eingesetzten Kostengüter ist beliebig. Insbesondere muß F keine quadratische Matrix sein.
Direkt zurechenbare oder direkte Kosten sind hier zugleich solche Kosten, die sich proportional mit dem Produktionsumfang ändern.
Auf die wichtigsten mit der Annahme homogen linearer Verbrauchsfunktionen zusammenhängenden Probleme wurde bereits auf den Seiten 99 ff. eingegangen. Insbesondere muß auch hier darauf hingewiesen werden, daß Planungsergebnisse, wie zum Beispiel die Kosten geplanter Produktionsmengen, nur als Richtwerte zu verstehen sind.
Es ist zu beachten, daß diese Kostensumme nur die direkt zurechenbaren Kosten enthält.
Wenn nur einseitige Leistungsbeziehungen vorliegen, ist (E - 4+)-1 eine Dreiecksmatrix und die Auswirkungen auf die innerbetrieblichen Verrechnungspreise werden besonders deutlich.
Die geringfügige Differenz ist darauf zurückzuführen, da3 bei der Berecnnung von p zwei Stellen nach dem Komma gerundet wurde.
Im folgenden werden bewertete Größen durch ein angehängtes W gekennzeicnnet.
Da das Abrechnungsschema nur gerundete Werte enthält, lassen sich Rundungsfehler nicht vermeiden, wenn C+ aus A W —und rW berechnet wird. —
PV1 = 9, 42 GE, PV2 = 19, 18 GE und PV3 = 11, 22 GE.
Vom Abrechnungsschema abweichend wurde hier der nicht korrigierte Absatzvektor verwendet.
Die Bezeichnung der Modellvarianten stammt wohl von Wenke. Vgl. zum Folgenden auch seinen Aufsatz “Matrizenmodelle in der Großindustrie” (LV 67, S. 112 ff. ).
So wurde übrigens auch im Kap. 2. 1. verfahren.
Nun ist auch ersichtlich, daß die Bezeichnungen “input- bzw. outputorientiert” nicht sehr glücklich gewählt wurden. Die innerbetrieblichen Leistungen werden in beiden Fällen auf Outputmengen bezogen, nur ist es beim outputorientierten Modell die Outputmenge der aufnehmenden Organisationseinheit und beim inputorientierten Modell die Outputmenge der abgebenden Einheit.
Vgl. hierzu die Ausführungen S.110 ff.
Die Größenmaße (1), (2) und (3) werden auch als Matrizennormen bezeichnet. (1) ist die Zeilennorm, (2) die Spaltennorm und (3) die Euklidische oder sphärische Norm (vgl. Zurmühl, LV 72, S. 202 ff. und Faddejew, Faddejewa, LV 16, S. 133 ff. ).
Es gibt auch noch andere Bedingungen, deren Erfüllung gewährleistet, daß Knfür rc gegen die Nullmatrix strebt (vgl. z. B. die sehr anschaulichen Ausführungen von Faddejew, Faddejewa, LV 16, S. 141 ff. ). Den oben genannten Kriterien wurde der Vorzug gegeben. weil sie leicht zu bestimmen sind
Diese Art der Berechnung von Kehrmatrizen stellt geringere Anforderungen an die Kapazität von elektronischen Rechenanlagen und ist daher unter Umständen zweckmäßiger als die bisher erörterten Verfahren. Vgl. zur Fehlerabschätzung Dück, Anwendung von Iterationsverfahren zur Matrizeninversion bei der numerischen Auswertung ökonomischer Probleme, LV 14, S. 56–95.
Vgl. beispielsweise die im Literaturverzeichnis von Vogel, LV 66, genannten Arbeiten mitteldeutscher Autoren.
Vgl. Pichler, LV 47, LV 48 und LV 49.
In der mitteldeutschen Literatur werden die direkten technischen Koeffizienten auch Materialverbrauchs- oder Ausbeutenormen genannt.
Hier ist auch ersichtlich, daß das Modell von Pichler - wird als Durchsatz der Ausstoß der Kostenstellen eingesetzt - mit dem Modell von Leontief übereinstimmt. Vgl. hierzu auch Kloock, LV 28. S. 89.
Probleme der horizontalen und vertikalen Aggregation technischer Koeffizienten werden von Pieplow, LV 52, erörtert.
B21 und B21 unterscheiden sich durch die letzte Zeile. In T321 ist der fixe Verbrauch auf die Stellen verteilt.
Vgl. hierzu auch S. 156 ff.
Vgl. hierzu Angermann (LV 6, S. 53 ff. ), der dieses Verfahren unter der Überschrift “Das sukzessive Input-Output-Modell” beschreibt; Kloock (LV 28, S. 68 ff. ); Müller-Merbach (LV 39, S. 191–198 und LV 40, S. 187–198). Siehe auch Nemtschinow (LV 42, S. 65 ff. ).
Vgl. hierzu auch Kloock (LV 28. S. 68 ff. und S. 89)
Wie Müller-Merbach (LV 40, S. 187 ff. ) zeigt, kann das Gozinto-Verfahren auch bei wechselseitigen Leistungsverflechtungen angewendet werden. Indem er Rückläufe (Schleifen im Gozinto-Graph) auflöst, führt er die wechselseitige Leistungsverflechtung auf eine einseitige zurück. Bei einem Produktionssystem mit einer Vielzahl von Rückläufen ist das angegebene Verfahren jedoch ziemlich umständlich. Von Vorteil ist das Verfahren aber dann, wenn durch Elimination einiger weniger Rückläufe die Verflechtungsmatrix trianguliert werden kann.
Vgl. zu weiteren Ausführungen Frotscher-Schreiter-Seidel (LV 20, S. 53 ff. ), Feix (LV 18, S. 103 ff. ) und Seidel (LV 56, S. 11–15).
Die Funktionsfähigkeit dieses Modells ist nicht davon abhängig, daß der Produktionsprozeß in Stufen aufgeteilt werden kann. Dies ist lediglich für das später anzuwendende Inversionsverfahren von Bedeutung.
Vgl. zu den Permutationsmatrizen Kemeny-Snell-Thompson (LV 23, S. 244 ff. ).
Siehe auch den Aufsatz von Dotzauer (LV 12, S. 203–210) über “Ein Iterationsverfahren zur Umordnung von Matrizen eines speziellen Typs auf Dreiecksgestalt”.
Vgl. auch Anm. 32.
Vgl. hierzu die Ausführungen von Buttler (LV 10) Kapitel 4 “Die Planung der Beschäftigung”.
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Vogel, F. (1970). Anwendungen des Matrizenkalküls in der Betriebswirtschaft. In: Matrizenrechnung in der Betriebswirtschaft. VS Verlag für Sozialwissenschaften, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-04345-4_2
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