Zusammenfassung
Nahezu alle Tourenplanungsprobleme stellen Generalisierungen oder Spezialisierungen des Traveling-Salesman-Problems dar. Daher wird dieses zunächst in seiner Grundversion diskutiert, bevor im Anschluß Erweiterungen zur Sprache kommen.
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Literatur
Während die erste schriftliche Erwähnung des Rundreiseproblems bereits aus dem frühen 19. Jahrhundert datiert [Vo1GT 1831], begann die Historie der systematischen wissenschaftlichen Beschäftigung mit dem TSP erst in den späten 40er Jahren dieses Jahrhunderts und nahm ihren eigentlichen Aufschwung mit der Veröffentlichung von Dantzig, Fulkerson und Johnson [Dantzig 54]. Eine ausführliche Darstellung der historischen Entwicklung des TSP und seiner Lösungsansätze findet sich in [Hormian 85].
Die Interpretation des in diesem Kapitel definierten TSP als Problem der betrieblichen Logistik bietet sich natürlich schon von der Namensgebung her an. Allerdings reicht die Zahl der Problemstellungen, die sich als TSP modellieren lassen, vom schnellstmöglichen Bohren eines vorgegebenen Lochmusters in eine Leiterplatte bis zur rüstkostenminimalen Reihenfolge einer auf einer Maschine zu bearbeitenden Menge von Aufträgen [Lenstra 75], [Gilmore 64].
Die Städte werden somit als die Knoten des Graphen verstanden, die Abstände d1. als Bewertung der Kanten des Graphen. Sofern zwischen zwei Knoten i und j keine Kante existiert, d.h. j von i nur über einen dritten Knoten erreicht werden kann, wird die entsprechende Distanz in der Matrix auf einen unendlich hohen Wert gesetzt. Für i=j gilt dij= O.
Das asymmetrische TSP kann z.B. als Modell für die Rüstkostenminimierung durch optimale Bearbeitungsreihenfolgen dienen: Das Verarbeiten einer schwarzen Farbe nach einer weißen ist im allgemeinen ungleich günstiger als die umgekehrte Reihenfolge.
Für erste Sichtweise spricht, daß prinzipiell jedes Verfahren zur Lösung asymmetrischer TSP auch symmetrische TSP lösen kann. Allerdings sind diese Verfahren für symmetrische TSP dann sehr ineffizient, was wiederum die zweite Sichtweise favorisiert.
Vergleiche hierzu z.B. [Volgenant 87], [Mrrrenrttal 92], [Padbero 89].
Dieser kann natürlich auch im Sinne von Strafkosten des Nichtbesuchens eines Kunden verstanden werden.
Die Kanten repräsentieren hierbei die vom Briefträger abzulaufenden Straßenzüge.
Zur genauen Definition des Landau“schen Symbols 0 vgl. [PAPADIMITRIOU 82].
Dies ist genau dann der Fall, wenn das lineare Programm eine total unimodulare Koeffizientenmatrix aufweist und zudem auch die sog. ‚Right-Hand-Side ganzzahlig ist [Neumann 93, S. 381].
Der Subtrahend liegt darin begründet, daß weder für die leere Menge noch für die Menge aller Städte eine eigene Nebenbedingung formuliert werden muß.
Zu den bekanntesten dieser alternativen Formulierungen zählen die von Miller et. al. [Miller 60] mit das Two-commodity-flow-Modell von Finke et al. [Finke 84], welches mit 0(n Variablen und Variablen und Nebenbedingungen, verschiedene Multi-commodity-flow-Modelle [Wong 80], [Claus 84], [Langevin 88], [Loulou 88] mit Variablen und Nebenbedingungen sowie Nebenbedingungen auskommt. Eine Übersichtsdarstellung dieser Formulierungen findet sich in [Langevin 90], ein analytischer Vergleich ihrer polyedrischen Struktur bei [Padberg 91]. Dieser Vergleich kommt zu dem emüchtemden Ergebnis, daß not any one of the alternative formulations of the TSP considered here has yielded new insights about the facial structure of the (symmetric and asymmetric) polytopes associated with the Dantzig-Fulkerson-Johnson formulation. [Padberg 91, S. 354]. Auch die in [Desrochers 91] vorgestellten Erweiterungen der Miller-Tucker-Zemlin-Formulierung konnten hieran nichts ändern.
Zur Wichtigkeit ‘guter’ Problemrelaxationen vgl. Kapitel 3.
Zur Veranschaulichung wurde ein über zwei Variablen definiertes Programm gewählt, welches sich leichter darstellen läßt als das TSP.
also des linearen Programms, welches aus der Aufhebung der Ganzzahligkeitsbedingungen resultiert
Eine nichtleere Teilmenge X eines n-dimensionalen euklidischen Raumes Ilt“ heißt konvex, wenn für beliebige Elemente x, y e X und jede reellwertige Zahl a mit 0 S a S 1 gilt, daß ax+(1-a)y ebenfalls in X enthalten ist.
In unserem Beispiel wird diese konvexe Hülle der ganzzahligen Lösungen durch das innerhalb des Dreiecks liegende Viereck bestimmt.
Vgl. [Grotschel 79], [Crdwder 80], [Grotschel 85], [Padberg 90], [GR.Tsoiel 91], [Naddef 91], [Naddef 92].
Der eigentlichen Generierung von Schnittebenen innerhalb des linearen Programms gehen zunächst zwei Phasen zur Berechnung von Kostenober-und -untergrenzen voraus. Die Ergebnisse dieser Phasen können dazu genutzt werden, einen beträchtlichen Teil (z.T. über 90%) der gesamten Kanten des TSP als definitiv nicht optimal bereits vor der Formulierung des LP auszuschließen IGROTSCHEL 91, S. 147]. Zur Möglichkeit der Elimination nicht optimaler Kanten vgl. auch [JONKER 84].
Es geht im wesentlichen zurück auf [Dakin 65] und [Balas 65].
Grötschel und Holland [Grotschel 91] wählen genau dieses kombinierte Vorgehen zur Lösung großer Traveling-Salesman-Probleme.
Von einem polynomialen Zeitaufwand spricht man, wenn sich die Rechenzeit als beliebiges Polynom des Problemumfangs (hier Anzahl der Städte) ausdrücken läßt.
Vergleichende Übersichtsdarstellungen finden sich bei [Rosenkrantz 77], [Golden 80] und [Lawler 85].
Die konvexe Hülle einer gegebenen Menge von Punkten ist der ‚Rand“ desjenigen alle Punkte umschließenden Polycders, welches erstens konvex ist und zweitens den minimalen Flächeninhalt aufweist. Bildlich gesprochen kann man ein ‚Gummiband“ um alle Punkte spannen, dessen Form dann die konvexe Hülle ergibt.
Unter einem Baum wird ein (ungerichteter) Graph verstanden, in dem von jedem Knoten zu jedem anderen genau ein Weg (über beliebig viele andere Knoten) existiert. Das mehrfache Durchlaufen einer Kante sei bei der Konstruktion dieses Weges untersagt. Aus der Menge aller Bäume ist derjenige der minimal-spannende, bei dem die Summe der Längen aller Kanten minimal ist.
Unter dem Grad eines Knotens versteht man die Anzahl der adjazenten Kanten, also bildlich gesprochen die Anzahl von Kanten, an deren ‚einem Ende“ der Knoten zu finden ist.
Ein Graph ist dann ein Euler’scher Graph, wenn jeder seiner Knoten einen geraden Grad aufweist.
Auf einem derartigen Vorgehen fußen beispielsweise die von folgenden Autoren vorgeschlagenen Verfahren: [Karp 77], [Karr 79], [Karr 85, S. 194], [SIGAL 87]
Vgl. [Papadimitridu 82, S. 401], [Lawler 85, S. 148], [Lin 73, S. 498–516], [Michalewicz 92, S. 190].
Zwei natürliche Zahlen si und si würde man wohl immer dann als benachbart ansehen, wenn ihr ‚Abstand“, also ihre Differenz, genau eins beträgt.
Der Begriff ‚Nachbarschaft“ wird im folgenden je nach Kontext die gesamte Nachbarschaftsrelation oder, wenn er sich auf eine konkrete Lösung bezieht, die Menge ihrer direkten Nachbarn bezeichnen.
Unter einem Streckenstück soll ein Pfad von Knoten (Städten) und ‚durchlaufenen“ Kanten verstanden werden, die einen Teil der gesamten Tour ausmachen.
Bezüglich der Zeitkomplexität war bis vor kurzem aufgrund der ‚dynamisch“ definierten Nachbarschaft der Suche keine Einordnung bekannt. Papadimitriou gelang jedoch, die sogenannte PLS-completeness der Lin-Kernighan-Heuristik nachzuweisen. PLS steht hierbei fir polynomial-time local search. Dies bedeutet, daß one can construct examples of traveling salesman problems such that the Lin-Kernighan heuristic takes exponentially long to converge [Papadimitiuou 92, S.4631.
was strenggenommen natürlich auch einem (trivialen) Initialisierungsverfahren gleichkommt
GEN eralized Insertion
Unstringing and Stringing
Bei der Verwendung des MTSP als Relaxation des im nächsten Abschnitt diskutierten CVRP kann diese Festlegung einer Tourenzahl von m allerdings Sinn machen: Wenn man schon weiß, daß die Kapazitätsrestriktionen mindestens m LKW erfordern, um alle Kunden zu beliefern, so liefert das MTSP mit genau m Touren natürlich höhere und damit bessere Kostenuntergrenzen als die Variante II.
Dies ist für euklidische TSP stets der Fall.
Andere Lösungsansätze, die diese Transformation nicht durchfiihren, finden sich z.B. bei [Laporte S0], [Gavish 86] und [HuSBAN 89].
Unter einer Teillieferung wird die Lieferung einer von q i abweichenden Menge an Kunden i verstanden.
Alternative Formulierungen finden sich z.B. in [Foster 76] und [KULKARNI 85].
Jeder Kunde kann nur innerhalb eines (oder mehrerer) bestimmter Zeitintervalle beliefert werden.
Neuere Übersichtsdarstellungen zum sog. VRPTW finden sich bei [SOLOMON 88] und [DESROCHERS 88]. Zu Lösungsheuristiken siehe auch [Solomon 87], [Kolen 87], [Desrochers 92] und [Potvin 93].
Bei diesen Problemen stehen mehrere Depots zur Verfügung. Jede Tour kann an einem beliebigen Depot beginnen, muß dann aber wieder am gleichen Depot enden.
Für eine Übersicht siehe [Dror 93] und [BERTSIMAS 93].
Natürlich ermitteln auch Sweep und Savings für jedes CVRP gültige Tourenpläne, allerdings nur dann, wenn die Anzahl m der verfügbaren LKW der Zahl der Kunden (n-1) entspricht.
Die bislang besten Grenzen wurden von Altinkemer und Gavish [ALTINKEMER 91] ermittelt. Für das in Kapitel 8 als Testbeispiel dienende CVRP50+1 wird z.B. eine Kostenuntergrenze von 500 angegeben, die optimale Lösung liegt bei 524.61.
Christofides gelang es auch durch Einführung einer Ganzzahligkeitsbedingung fir die Nachfrage ql der Kunden nicht, mit dem darauf aufbauenden Kostenschätzer der sog. ‚q-routes“ CVRP mit mehr als 25 Kunden optimal zu lösen [CHRTSTOFIDES 81a].
Das Tree-Search-Verfahren von Christofides [Christofides 79, S. 319] stellt ein solches Branch&Bound-Verfahren dar, welches allerdings wegen der kombinatorischen Explosion des Suchgraphen durch geeignete Modifikationen zur Heuristik umfunktioniert wird.
Future research work will be focused on devising an automatic facet identification procedure. [Co2NUEJoLs 93, S. 50]
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Wendt, O. (1995). Typologie der Tourenplanungsprobleme und ihrer Lösungsverfahren. In: Tourenplanung durch Einsatz naturanaloger Verfahren. Gabler Edition Wissenschaft. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-09046-5_2
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Print ISBN: 978-3-8244-6181-3
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