Quadratische Erweiterungen

Zusammenfassung

Der Ring der ganzen Gauß’schen Zahlen n + mi, (m, n ∈ ℤ), den wir schon einigemal betrachtet haben, ist eine sog. quadratische Erweiterung von ℤ. In diesem Paragraphen werden wir quadratische Erweiterungen eines beliebigen kommutativen Rings R mit Einselement konstruieren. Die quadratische Erweiterung besteht aus Elementen der Gestalt x+yW mit x,y ∈ R, wobei W nicht im Ring R liegt, sein Quadrat aber ein vorgegebenes Element D von R ist. (Für die ganzen Gauß’schen Zahlen ist W = i, D = −1.) Interessante und für spätere Anwendungen wichtige Beispiele sind die Körper mit p ² Elementen (p Primzahl), die quadratische Erweiterungen der Körper F _p mit p Elementen darstellen.