Zusammenfassung
Im Rahmen des ersten Abschnitts wurde erläutert, daß die Beurteilung von Zahlungsströmen anhand zweier Komponenten erfolgt, einer Höhenkomponente, die durch die erwartete Einzahlung µW beschrieben wird, und einer Risikokomponente, die individuell verschieden sein kann und von den jeweiligen Präferenzen abhängt. Somit konnte für spezielle Klassen von Nutzenfunktionen die Risikokomponente konkretisiert werden. Für quadratische Nutzenfunktionen resultierte beispielsweise die Varianz oder die Standardabweichung als relevantes Risikomaß. Dieses Risikomaß besitzt infolge seiner Anschaulichkeit und leichten rechentechnischen Handhabbarkeit große Bedeutung in der portfoliotheoretischen Literatur1 und soll aus diesem Grund trotz der im vorhergehenden Abschnitt schon angerissenen Kritik ausführlich erörtert werden. Zusammenfassend wird in diesem Abschnitt ein nach dem Bernoulli-Prinzip agierender Investor betrachtet, der bei der Beurteilung von Wertpapierportfolios die Höhenkomponente „Erwartungswert“ und die Risikokomponente „Standardabweichung“ seiner Portfolioselektion zugrunde legt. Ein solcher Investor verhält sich per definitionem nach dem µ-σ-Prinzip. Die grundlegenden Arbeiten zur Portfolioselektion auf der Basis des µ-σ-Prinzips gehen dabei auf Markowitz (1952, 1959) zurück.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Vgl. z.B. Kleeberg (1995), Steiner/Bruns (1995), S. 1 ff., oder auch Haugen (1993), S. 204 ff.
Ein Funktional bezeichnet eine Funktion, deren Wertebereich eine Teilmenge von 91 darstellt. Vgl. hierzu beispielsweise Takayama (1985), S. 16. Da der Begriff „Präferenzfunktional“ häufig in der Literatur Verwendung findet, soll dieser auch in dem vorliegenden Buch nicht unerwähnt bleiben.
Im folgenden wird unter „Dominanz“ stets „strikte Dominanz” verstanden.
Ausschließlich die Eigenschaften U’ > 0 und U“ < 0, die einen risikoaversen Investor kennzeichnen, sollen erfüllt sein.
Dies ist eine der Eigenschaften, die die besondere Relevanz der Normalverteilung in der Portfoliotheorie erklärt. Die (multivariate) Normalverteilung ist der einzige, im Zusammenhang mit dem µ-a-Prinzip relevante Verteilungstyp, der sich bei Linearkombination (hier beschrieben durch die Portfoliobildung) reproduziert.
Cov[•,•] bezeichnet in diesem Zusammenhang die Kovarianz zwischen zwei Zufallsvariablen und beschreibt deren monotonen Zusammenhang. Formal gilt die folgende Definition: Cov[X, Ÿ] E[(X — 1..tx). (Ÿ — µY)]. Die Kovarianz kann darüber hinaus auch mit Hilfe der sogenannten Korrelation pXY beschrieben werden, welche das Ausmaß des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsgrößen mißt. Es gilt pXY:= Cov [X, Y] /(6 X • 6 y) und somit Cov[X, Y] =pXY • ° x • Gy. Vgl. für genauere Informationen Schmitz (1996), S. 75 ff.
Vgl, Bronstein/Semendjajew (1991), S. 269.
Eine Einführung in die Begriffsbildung zentraler Momente liefert beispielsweise wiederum Schmitz (1996), S. 58 ff. Das zweite zentrale Moment entspricht dabei gerade der schon diskutierten Varianz.
Vgl. z.B. Schmitz (1996), S. 60.
Diese Aussage kann beispielsweise Rudolph (1979), S. 17, entnommen werden. Allerdings kann der Nachweis dadurch motiviert werden, daß durch die gliedweise Differentiation der Taylorreihe (2.6) die Taylorreihe von E[U’(W)] (bei der Ableitung nach µw) bzw. die mit 6w gewichtete Taylorreihe von E[U“ (W)] (bei der Ableitung nach 6w) resultiert.
Vgl. hierzu auch Fußnote 5 dieses Abschnitts.
Man berücksichtige, daß wegen W 1 + i A die Identitäten 1 + A und
Die genauen Eigenschaften von Kovarianzen können neben der schon genannten Darstellung von Schmitz (1996) auch dem Mathematischen Anhang am Ende dieses Buches entnommen werden.
Die angegebenen Werte für ap stellen gerundete Prozentzahlen dar.
Im folgenden wird, falls keine Verwechslungsmöglichkeit besteht, vereinfacht von „Effizienz“ bzw. Dominanz” statt von „u-a-Effizienz“ bzw. „µ-a-Dominanz” gesprochen.
Diese Fläche umfaßt auch den Rand und setzt sich natürlich nach rechts und nach unten fort.
Vgl. beispielsweise Lehn/Wegmann (1985), S. 113, aber auch Fleischer (1998).
Man beachte, daß der Schätzer V = [V T nicht erwartungstreu sein muß. Dennoch wird dieser häufig zur Schätzung der Standardabweichung herangezogen. Zusätzlich muß betont werden, daß die Annahmen der Unabhängigkeit und Identität der Wahrscheinlichkeitsverteilungen durchaus starke Einschränkungen für empirische Anwendungsmöglichkeiten darstellen.
Um ohne Einschränkungen hinsichtlich der Renditeverteilung das u-n-Prinzip nutzentheoretisch zu fundieren, muß nach Schneeweiß (1966), S. 96, notwendigerweise eine quadratische Nutzenfunktion vorliegen. Des weiteren stellt die Normalverteilung die einzige sogenannte stabile Verteilung mit endlicher Varianz dar. Vgl. hierzu beispielsweise Fama (1965). Dabei ist es gerade eine der wesentlichen Eigenschaften von stabilen Verteilungen, daß die Linearkombination zweier unabhängig, identisch stabil verteilter Zufallsvariablen wiederum der gleichen Verteilung unterliegt. Vgl. z.B. Rohatgi (1976), S. 219.
Vgl. zu dieser Kritik beispielsweise Schmidt-von Rhein (1996), S. 305 ff.
Mögliche Verstöße gegen das Zustands-Dominanz-Prinzip werden noch an späterer Stelle dieses Abschnitts vertieft diskutiert.
Auch soll die Generierung einer risikolosen Anlage durch Portfoliobildung von unsicheren Wertpapieren nicht möglich sein. Dieser Umstand führt insbesondere dazu, daß Korrelationen pij der Renditen zweier Wertpapiere stets größer als —1 angenommen sind.
Der vorliegende Ansatz geht zurück auf Merton (1972). Vgl. für einen alternativen Ansatz etwa Franke/Hax (1999), S. 309 ff., oder Breuer (1997), S. 173 ff.
Der Nachweis dazu kann dem Anhang zu diesem Abschnitt entnommen werden.
Man beachte, daß im Spezialfall einer invertierbaren 2x2-Matrix C = ra bl die Inverse leicht ermit-
Im weiteren wird statt von „Linie minimaler Renditestandardabweichung“ oft knapper von der „Minimumvarianzlinie” gesprochen, auch wenn dazu auf der Abszisse 62 abgetragen werden müßte.
Vgl. z.B. Schmidt-von Rhein (1996), S. 246 ff., Haugen (1993), S. 108 ff., sowie Haley/Schall (1979), S. 135 ff.
Zusätzlich können auch die Anteile x1, x2,…, x„ all dieser Portfolios ermittelt werden. Die dazu benötigten Formeln können der Gleichung (A2.13) des Anhangs zur Herleitung von (2.19) und (2.20) entnommen werden.
Genaugenommen müßte bei Annahme einer Nutzenfunktion U(Wp)=a1 Wp—a2 Wp und etwa Normierung des Anfangsvermögens auf A = 1 wegen E[WP 1=1+ E[,] und aufgrund der Kardinalität der Präferenzen das Präferenzfunktional QU(1.1,6) = (a 1 — 2 • a 2) • µ — a 2 • (a 2 + µ 2) betrachtet werden. Ohne weiteres kann hier aber der Faktor a1-2•a2 als ein neuer Parameter al definiert werden, um die bekannte Struktur des Funktionals beizubehalten. Dieser Parameter kann allerdings durchaus negative Werte annehmen. Entsprechendes gilt für A # 1.
Die Aquivalenz resultiert unmittelbar durch Anwendung der binomischen Formel innerhalb der zweiten Gleichung.
Im weiteren wird statt von „Linie minimaler Renditestandardabweichung“ oft knapper von der „Minimumvarianzlinie” gesprochen, auch wenn dazu auf der Abszisse 62 abgetragen werden müßte.
Zu beachten ist, daß in (2.3) der Koeffizient al anders definiert ist als in (2.24). Vgl. Fußnote 29.
An diesem Sachverhalt ändert sich auch durch die Anwendung der Wurzelfunktion auf Gleichung (2.19) nichts, da eine Funktion f (v) = Vm • (v — v 0) 2 + w o für (v o, w 0) # (0,0) (streng) konvex verläuft. Die Überprüfung des dazu nachzuweisenden Sachverhalts f“ (v) > 0 (für alle v) wird dem Leser überlas- sen.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1999 Springer Fachmedien Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Breuer, W., Gürtler, M., Schuhmacher, F. (1999). Portfolioselektion und µ-σ-Prinzip. In: Portfoliomanagement. Gabler Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-11111-5_3
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-11111-5_3
Publisher Name: Gabler Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-409-11508-7
Online ISBN: 978-3-663-11111-5
eBook Packages: Springer Book Archive