Das unbestimmte Integral

Zusammenfassung

Die Funktion f(x) sei stetig in einem Intervall G; sind a und b>a zwei Werte aus G, so existiert das bestimmte Integral

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sen Wert von den Integrationsgrenzen a und b und vom Verlauf der Funktion f(x) abhängt und gleich dem Flächeninhalt des durch die Funktion f(x) über [a, b] gegebenen Normalbereiches ist. Wir denken uns nun a festgehalten, b aber als Variable, und schreiben, um diesen Umstand besser hervorzuheben, x an Stelle von b und u an Stelle der ursprünglichen Integrationsveränderlichen x. Das Integral

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ist dann eine für alle Werte x∈G definierte Funktion F(x) der oberen Grenze x und bedeutet geometrisch den mit x veränderlichen Flächeninhalt des durch f(x) über [a, x] bestimmten Normalbereiches bei festgehaltener unterer Grenze a. Die Integrationsveränderliche wurde mit u bezeichnet, um sie von der oberen Grenze x zu unterscheiden. Es wird aber auch die Schreibweise

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sehr oft verwendet, obwohl sie eigentlich unzulässig ist, da hier derselbe Buchstabe für zwei verschiedene Variable gebraucht wird.