Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren

Zusamenfassung

Bekanntlich kann eine Hermitesche Matrix A im Hilbert-Raum C^N stets auf Diagonalform gebracht werden, d.h. es gibt reelle Zahlen λ₁,…, λ_N mit λ₁,≤, λ₂ … ≤ λ_N und Einheitsvektoren e ₁,…,e _N mit (e _i,e _j) = δ_ij im C^N, so daß = 1,…, N gilt. Bezeichnet P _k den Projektor auf den von e _k erzeugten Unterraum, d.h. P _k x = 〈ek,x〉e _k , so läßt sich der selbstadjungierte Operator A im Hilbert-Raum H = C^N in der Form

$$ A = \sum\limits_{k = 1}^N {\lambda _k P_k } $$

schreiben, d.h. der selbstadjungierte Operator A ist als Summe von Produkten (Eigenwert × Projektor auf den zugehörigen Eigenraum) dargestellt worden.