Zusammenfassung
Dies hat kein Theologe oder Philosoph geschrieben, sondern ein Mathematiker, nämlich David Hilbert. Theologen und Philosophen ergehen sich in phantastischen Spekulationen über das Unendliche und die Ewigkeit, aber am Ende lautet ihre Erkenntnis: »Nix Genaues weiß man nicht«. Die Mathematik hingegen erhebt den Anspruch, die wahre Wissenschaft vom Unendlichen zu sein.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
Es hat in der Mathematik auch Versuche gegeben, den Gebrauch des Unendlichen (im Großen wie im Kleinen) zu vermeiden. Das Ergebnis ist ein unüberschaubarer, schwerfälliger Formalismus. (Ich komme auf diese intuitionistischeoder auch konstruktivistischeGeisteshaltung ihres Gründers Luitzen Brouwer an späterer Stelle noch zurück.) Trotz eines gewissen Abstraktionsgrades ist die Welt des Unendlichen nämlich sehr einfach.
- 2.
Hat man es mit einer unendlichen Folge (f1, f2, f3, …) oder kurz (fn) zu tun, bei der der Index n die Werte 1, 2, 3, … annimmt und beliebig groß werden kann, wird auch der Ausdruck »n strebt gegen unendlich«, \({\rm{n}} \to \infty \), verwendet, wobei \(\infty \)das herkömmliche Standardsymbol für »unendlich« ist.
- 3.
Man sagt auch, die rationalen Zahlen oder Brüche liegen dichtauf der Zahlengerade. Diesen Sachverhalt macht sich das aus dem Mathematikunterricht vielleicht noch vage bekannte Verfahren zunutze, das Intervallschachtelungheißt. Für konkrete Berechnungen und praktische Messungen genügen die rationalen Zahlen, denn jede irrationale Zahl wie √ oder π kann durch einen Bruch beliebig genau angenähert werden – wenn auch eine Gleichsetzung niemals möglich ist (wie wir für √2 bewiesen haben). Für die Theorieaber, das heißt, für die auf der Grundlage der Logik zu entdeckenden Fiktionen, reichen die Brüche bei weitem nicht aus.
- 4.
Erst in jenem Jahr hat Joseph Liouville einen Satz bewiesen, nach dem sich algebraische Irrationalzahlen durch rationale Zahlen im Allgemeinen nichtsehr gut approximieren lassen. Damit konnten andererseits spezielle irrationale Zahlen mit ungewöhnlich gutenrationalen Approximationen konstruiert werden, die zwangsläufig transzendent sein müssen. Ein Beispiel stellt 1,10100100001… dar, wo sich die Anzahl Nullen zwischen aufeinander folgenden Einsen mit jedem Schritt verdoppelt. Doch ist man damit noch weit vom Transzendenzbeweis für irgendeine »natürlich vorkommende« Zahl (wie e oder π) entfernt.
- 5.
Überholstrecke in Metern:\(\begin{aligned}100 + 1 +0,01+ 0,0001+ \ldots &= 100 \times ({\rm{1}} + \frac{1}{{100}}{\rm{+(}}\frac{1}{{100}}{)^2}{\rm{+(}}\frac{1}{{100}}{)^3}{\rm{+}}...)= \\ &= 100 \times \frac{1}{{{1-}{\textstyle{{1} \over {100}}}}}=\frac{{10000}}{{{\rm{99}}}}{\rm{=101,010101}}...\end{aligned}\)Analog erhält man 10,101010… als Überholzeit in Sekunden.
Rights and permissions
Copyright information
© 2011 Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Basieux, P. (2011). Brücken ins Unendliche. In: Abenteuer Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-8274-2885-1_3
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8274-2885-1_3
Publisher Name: Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-8274-2884-4
Online ISBN: 978-3-8274-2885-1
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)