Vektorbündel und Tensoren

Zusammenfassung

Dieses Kapitel gehört wie das vorangegangene zum Bereich der Differentialtopologie und noch nicht zur Riemannschen Geometrie. Das Tangentialbündel wird zu beliebigen Bündeln aus Vektorräumen verallgemeinert, die sehr schnell für weitere Konstruktionen wie etwa mehrfache Ableitungen notwendig werden. Außerdem werden einige Objekte aus der Linearen Algebra bereitgestellt: Die Algebra der Tensorprodukte von Vektoren und die endlich-dimensionale äußere Algebra zu einem endlich-dimensionalen Vektorraum. Der Wert dieser Objekte für die Differentialgeometrie wird in diesen Abschnitten bereits dadurch etwas klarer, dass sie die Definition weiterer Differentialoperatoren ermöglichen. Die äußere Algebra liefert im vorletzten Abschnitt ein topologisches Instrument zur Unterscheidung von Mannigfaltigkeiten, die de Rham-Kohomologie. Die äußere Algebra verallgemeinert den Begriff der Determinante. Im letzten Abschnitt wird die äußere Algebra zur Definition eines Integrals auf Mannigfaltigkeiten analog zum Integrationsbegriff auf dem R ⁿ verwendet.