Normalformen von Matrizen

Zusammenfassung

Wir beginnen dieses Kapitel mit der Einführung von Polynomen. Die arithmetischen Eigenschaften des Polynomrings K[x] sind entscheidend für die späteren Untersuchungen. In 5.2 führen wir den Idealbegriff ein, welcher übersichtliche Beweise gestattet. Für Hauptidealringe, wie etwa K[x] oder auch ℤ, entwickeln wir in 5.3 eine ausführliche Theorie. Die Begriffe größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches und Primfaktorzerlegung erhalten hier ihre systematische Fundierung. Abschnitt 5.4 über das charakteristische Polynom und Eigenwerte ist der erste Schritt zu einem genauen Studium von linearen Abbildungen. In physikalischen und technischen Anwendungen sind Eigenwerte unerläßlich, werden doch die Frequenzen schwingungsfähiger Systeme in Mechanik und Elektrodynamik als Eigenwerte von Matrizen ermittelt. Wir kommen darauf in 8.5 zurück. Kaum weniger wichtig ist die in 5.5 entwickelte Theorie des Minimalpolynoms, denn sie liefert Kriterien für die Diagonalisierbarkeit von Matrizen.